期末真题必刷压轴60题（25个考点专练）

期末真题必刷压轴60题（25个考点专练）一．根与系数的关系（共3小题）1．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22＝136，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．【解答】解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，解得m＝1，当m＝1时，原方程为x2+4x+4＝0，∴x1＝x2＝﹣2；（2）不存在．假设存在，则有x12+x22＝136．∵x1+x2＝4m﹣8，x1x2＝4m2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，∴m2﹣8m﹣9＝0，（m﹣9）（m+1）＝0，∴m1＝9，m2＝﹣1．∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1＝9，m2＝﹣1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2＝x1x2＝．2．（2022秋•安顺期末）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）＝＝（﹣1≤m＜1）．∵对称轴m＝，2＞0，∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2＝，x1x2＝来化简代数式的值．3．（2022秋•宿城区期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣＝0即可求得k的值．（3）分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】证明：（1）∵Δ＝（2k+1）2﹣16（k﹣）＝（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2＝2k+1＝0，解得k＝﹣0.5；（3）①当b＝c时，则Δ＝0，即（2k﹣3）2＝0，∴k＝，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴b+c＝4＝a不适合题意舍去；②当b＝a＝4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，∴k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∴c＝2，C△ABC＝10，当c＝a＝4时，同理得b＝2，∴C△ABC＝10，综上所述，△ABC的周长为10．【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．二．一元二次方程的应用（共3小题）4．（2023春•武胜县校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2厘米？【分析】首先表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理列出有关时间t的方程求解即可．【解答】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是2厘米．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5厘米，∴AC＝＝＝10（厘米），∴AP＝2x厘米CQ＝x厘米CP＝（10﹣2x）厘米，在Rt△CPQ内有PC2+CQ2＝PQ2，∴（10﹣2x）2+x2＝（2）2，整理得：x2﹣8x+12＝0，解得：x＝2或x＝6，当x＝6时CP＝10﹣2x＝﹣2＜0，∴x＝6不合题意舍去．∴P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是2厘米．【点评】本题考查了一元二次方程的解法和应用，解决第二题的关键是设出运动时间并用运动时间表示出有关线段的长．5．（2022秋•甘井子区校级期末）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．【分析】本题依据题中的等量关系水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，根据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2012年的产量是7200（1+x）2据此即可列方程，解出后检验即可．【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有：7200（1+x）2＝8450，解得：x1＝≈0.0833，x2＝﹣＝﹣2.0833（应舍去）．故水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%．【点评】考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．6．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【分析】设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽＝300，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意得方程：x（50﹣2x）＝300，2x2﹣50x+300＝0，解得；x1＝10，x2＝15，当x1＝10时50﹣2x＝30＞25（不合题意，舍去），当x2＝15时50﹣2x＝20＜25（符合题意）．答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）7．（2022秋•阳曲县期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣1，3），B（3，a）两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（2）求S△AOB．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得解析式，然后求得B的坐标，再用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式kx+b＞的解集就是一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的x的范围；（3）首先求得AB与y轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y＝得m＝﹣3，则反比例函数的解析式是y＝﹣，当x＝3时，y＝﹣1，则B的坐标是（3，﹣1）．根据题意得：，解得：，则直线的解析式是y＝﹣x+2；（2）不等式kx+b＞的解集是：x＜﹣1或0＜x＜3；（3）在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，则S△AOB＝×2×1+×2×3＝4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．8．（2022秋•莘县校级期末）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（3）直接写出的解集．【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC＝S△ODA+S△ODC即可求出；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO＝•|BO|•|BA|＝•（﹣x）•y＝，∴xy＝﹣3，又∵y＝，即xy＝k，∴k＝﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；（2）由y＝﹣x+2，令x＝0，得y＝2．∴直线y＝﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），∵A、C在反比例函数的图象上，∴，解得，，∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC＝S△ODA+S△ODC＝OD•（|x1|+|x2|）＝×2×（3+1）＝4；（3）关于x的不等式的解集是：﹣1≤x＜0或0x≥3．【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系．9．（2022秋•岳阳县期末）如图已知函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x0，△AOD的面积为2．（1）求k的值及x0＝4时m的值；（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2•t]值．【分析】（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合x0y0＝k可求得k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标为x0，即x0满足，可得：mx02+5x0＝4，再根据m的取值计算m2•t，最后利用新定义可得结论．【解答】解：（1）设A（x0，y0），则OD＝x0，AD＝y0，∴S△AOD＝OD•AD＝＝2，∴k＝x0y0＝4；当x0＝4时，y0＝1，∴A（4，1），代入y＝mx+5中得4m+5＝1，m＝﹣1；（2）∵，，mx2+5x﹣4＝0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0＝4，当y＝0时，mx+5＝0，x＝﹣，∵OC＝﹣，OD＝x0，∴m2•t＝m2•（OD•DC），＝m2•x0（﹣﹣x0），＝m（﹣5x0﹣mx02），＝﹣4m，∵﹣＜m＜﹣，∴5＜﹣4m＜6，∴[m2•t]＝5．【点评】本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一元二次方程解的定义及反比例函数k的几何意义，有难度，综合性较强，第2问利用方程的解得出mx02+5x0＝4是关键．四．反比例函数的应用（共2小题）10．（2022秋•沙依巴克区校级期末）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．【解答】解：（1）①由题意可得：xy＝3，则y＝（x＞0）；②当y≥3时，≥3解得：x≤1，故x的取值范围是：0＜x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y＝3，∴x+＝3，整理得：x2﹣3x+3＝0，∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；所以圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x+y＝5，∴x+＝5，整理得：x2﹣5x+3＝0，∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，所以方方的说法对．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．11．（2022秋•邯山区校级期末）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？【分析】（1）设关系为R＝，将（10，6）代入求k；（2）将t＝30℃代入关系式中求R’，由题意得R＝R’+（t﹣30）；（3）将R＝6代入R＝R’+（t﹣30）求出t．【解答】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R和t之间的关系式为R＝，将（10，6）代入上式中得：6＝，k＝60．故当10≤t≤30时，R＝；（2）将t＝30℃代入上式中得：R＝，R＝2．∴温度在30℃时，电阻R＝2（kΩ）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，∴当t≥30时，R＝2+（t﹣30）＝t﹣6；（3）把R＝6（kΩ），代入R＝t﹣6得，t＝45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．五．抛物线与x轴的交点（共2小题）12．（2022秋•扶风县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是﹣9≤t＜0．【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程的解法求出a、b、c的值，即可得到二次函数的解析式；（2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点A的坐标求出与x轴的另一交点坐标；（3）由（1）可知a，b，c的值，再根据一元二次方程x2﹣4x﹣5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解相当于y＝x2﹣4x﹣5与y＝t在x的范围内有交点解答即可．【解答】解：（1）根据题意得，，②分别代入①、③得，a﹣b＝5④，3a+b＝﹣1⑤，④+⑤得，4a＝4，解得a＝1，把a＝1代入④得，1﹣b＝5，解得b＝﹣4，∴方程组的解是，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9，顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x＝2，设另一点坐标为B（a，0），则﹣1+a＝2×2，解得a＝5，∴点B的坐标是B（5，0）；（3）由（1）可知二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5，即y＝（x﹣2）2﹣9，x＝﹣1时，y＝9﹣9＝0，x＝3时，y＝1﹣9＝﹣8，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2+bx+c与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣9≤t＜0时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．故答案为：﹣9≤t＜0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要；本题还考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．13．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（2，0），B（﹣6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求QA+QO的最小值；（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，当时，求点P的坐标．【分析】（1）A（2，0），B（﹣6，0）代入y＝ax2+bx﹣6，利用待定系数法解答即可；（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′，求出O′的坐标，并证明Q′A为QA+QO的最小值，求出Q′A即可；（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．设点P（m，m2+2m﹣6），由于QP∥AC，故S△PAQ＝S△PCQ（同底等高），从而得到S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOM+SRt△PMB﹣SRt△BOC，用P点坐标将各项表示出来，从而求出m的值，进而求得P点坐标．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣6，0）分别代入y＝ax2+bx﹣6，得方程组，解得．∴抛物线的解析式为y＝+2x﹣6．（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′．连接BO′、CO′、OO′．∵OB＝OC，OO′⊥BC，∴OO′平分BC，∴OO′垂直平分BC．又∵BC垂直平分OO′，且∠BOC＝90°，∴四边形OCO′B是正方形．∴点O关于直线BC的对称点坐标为O′（﹣6，﹣6）．连接O′A，与BC交于点Q．∵BC是OO′的垂直平分线，∴QO＝QO′，∴QA+QO＝QA+QO′＝O′A．在BC上任取一点异于点Q的点Q′，连接Q′O、Q′A、Q′O′．Q′A+Q′O＝Q′A+Q′O′＞O′A（在三角形中，两边之和大于第三边），∴QA+QO的最小值为O′A＝＝10．（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．∵QP∥AC，∴S△PAQ＝S△PCQ（同底等高），∴S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOM+SRt△PMB﹣SRt△BOC．设点P（m，m2+2m﹣6），∴S梯形PCOM＝（MP+OC）•OM＝（﹣m2﹣2m+6+6）（﹣m）＝﹣m（﹣m2﹣2m+12），SRt△PMB＝MP•BM＝（﹣m2﹣2m+6）（m+6）＝（m+6）（﹣m2﹣2m+6），SRt△BOC＝OB•OC＝×6×6＝18．∴S＝S1+S2＝﹣m（﹣m2﹣2m+12）+（m+6）（﹣m2﹣2m+6）﹣18＝，解得m＝﹣1或﹣5．∴P（﹣1，﹣）或（﹣5，﹣）．【点评】本题考查二次函数的性质、图象上坐标特点和解析式的求法等内容，解答过程非常复杂，要求有极强的计算能力和思维能力．六．二次函数的应用（共2小题）14．（2022秋•大理州期末）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．【分析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量＝总利润”列出关于x的方程，解之可得；（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，则（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]＝2000，整理，得：x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40（舍去），答：该商品销售价是30元/件；（2）设该商品每天的销售利润为y，则y＝（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10x2﹣700x+10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．15．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）【分析】（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可求得所求的函数解析式；（2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把C坐标代入后求得第二次落地时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离．【解答】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4．由已知：当x＝0时y＝1．即1＝36a+4，∴a＝﹣．∴表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；（2）由题意得：0＝﹣（x﹣6）2+4解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），∴点C坐标为（13，0）．设第二次落地的抛物线为y＝﹣（x﹣k）2+2．将C点坐标代入得：0＝﹣（13﹣k）2+2．解得：k1＝13﹣2＜13（舍去），k2＝13+2≈18．∴y＝﹣（x﹣18）2+2．0＝﹣（x﹣18）2+2．x1＝18﹣2（舍去），x2＝18+2≈23，∴BD＝23﹣6＝17（米）．答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．【点评】考查二次函数的应用；判断出2个二次函数的顶点坐标是解决本题的关键；用到的知识点为：若二次函数的形状相同，则二个二次函数的二次项系数相同．七．二次函数综合题（共19小题）16．（2022秋•绵阳期末）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，矩形DEFG的边DE在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当矩形DEFG的周长取最大值时，求d，并求矩形DEFG的周长的最大值；（3）在（2）的结论下，直线DG上是否存在点M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称性得出点B坐标，抛物线的解析式设为交点式，进一步得出结果；（2表示出点G的坐标，进而表示出DE和DG的长，进而表示出矩形的周长的解析式，进一步得出结果；（3）设DM＝x，作EM的垂直平分线，交DE于H，根据△MGF∽△HDM，从而，从而表示出DH＝﹣+4x，MH＝EH＝﹣（﹣+4x）＝﹣4x+，在直角三角形DHM中，根据勾股定理列出方程，进而得出结果．【解答】解：（1）由题意得，B（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∴＝a•1×（﹣3），∴a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+3x+；（2）设矩形DEFG的周长为l，∵G（d，﹣+3d+），∴DE＝2（1﹣d）＝2﹣2d，DG＝﹣+3d+，∴l＝2（DE+DG）＝2（2﹣2d﹣+3d+）＝﹣3d2+2d+13＝﹣3（d﹣）2+，∴当d＝时，矩形周长最大值为；（3）当M点在线段GD上时，如图，设DM＝x，作EM的垂直平分线，交DE于H，∴EH＝MH，∴∠HME＝∠HEM，∴∠MHD＝∠MHE+∠HEM＝2∠DEM，∵∠GMF＝2∠DEM，∴∠GMF＝∠MHD，∵四边形DEFG是矩形，∴∠G＝∠D＝90°，∴△MGF∽△HDM，∴，∴，∴DH＝﹣+4x，∴MH＝EH＝﹣（﹣+4x）＝﹣4x+，由DM2+DH2＝MH2得，x2+（﹣+4x）2＝（﹣4x+）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴M（，）；当M点在线段DG和线段GD的延长线上时，∠GMF是锐角，2∠DEM是钝角，所以不存在∠GMF＝2∠DEM；综上所述：M（，）．【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17．（2022秋•德城区期末）如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．【分析】（1）根据题意用一次函数解析式求出与x轴y轴交点坐标，代入即可得到答案；（2）①连接OD，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，易证△ODM≌△OEN，从而可以根据线段关系得到E、F点坐标，得到EF的表达式再根据二次函数最值即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴A（1，0），B（0，2），代入y＝﹣+bx+c得，y＝﹣x+2；（2）①连接OD，，令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，∴B（﹣4，0）D在第二象限，∴﹣4＜m＜0，∴S△BCD＝S△BOD+S△COD﹣S△BOC＝×4×2＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，当m＝﹣2时，△BCD的面积最大为4，②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，在△ODM和△OEN中，，∴△ODM≌△OEN（AAS），∴DM＝EN＝﹣m+2OM＝ON＝﹣m，∴，令y＝﹣m，则﹣m＝﹣2x+2x＝m+1EF＝﹣m﹣1＝﹣﹣2m+1＝﹣（m+2）2+3，∴当m＝﹣2时EF最大为3，D点的坐标（﹣2，3）．【点评】本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．18．（2022秋•大洼区期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：y＝x2+2x﹣3的图象关于原点中心对称．（1）求抛物线P的表达式；（2）连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；（3）如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称即可得点A、B、C坐标，即可求抛物线P；（2）设BC得表达式为y＝mx+n，将点B、C代入得y＝﹣x+3，设D（a，﹣a+3），则E（a，﹣a2+2a+3），表示出DE即可求解；（3）对称轴与x轴交于点F，y＝﹣x2+2x+3得对称轴为x＝1，判断OM≠MB，分①OM＝OB＝3，②BM＝OB＝3两种情况求解即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+0﹣3＝﹣3，∴抛物线Q与y轴的交点为（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2+2x﹣3，解得：x＝1或x＝﹣3，∴抛物线Q与x轴的交点为（1，0）、（﹣3，0），∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，∴A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设BC得表达式为y＝mx+n，将点B、C代入y＝mx+n得：，解得：，∴y＝﹣x+3，设D（a，﹣a+3），则E（a，﹣a2+2a+3）；，∴当a＝时，DE有最大值，DE的最大值为；（3）在抛物线P的对称轴上存在点M，使△MOB是等腰三角形，理由如下：如图，对称轴与x轴交于点F，∵y＝﹣x2+2x+3得对称轴为x＝1，∴OM≠MB，①当OM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，，∴或．②当BM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，，∴或．∴或或或．【点评】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．19．（2022秋•大冶市期末）抛物线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．（1）直接写出A，B，C三点的坐标为A（﹣2，0），B（3，0），C（0，4）；（2）连接AP，CP，AC，若S△APC＝2，求点P的坐标；（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得∠PAB＝∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；（2）连接OP，设，则S△PAC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP，列出方程求出m的值，进而可以解决问题；（3）在AB的延长线上截取BF＝BC，连接CF，过点B作BE⊥x轴，交CF于点E，连接AE，求出直线CF的解析式为：，直线AE的解析式为：，联立方程组即可解决问题．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0），C（0，4）．故答案为：（﹣2，0），（3，0），（0，4）；（2）如图，连接OP，设，则S△PAC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP＝＝4+2m+m2﹣m﹣4＝m2﹣m＝2，解得：m1＝1，m2＝﹣3（舍），2m方/3+4m/3＝2∴点P的坐标为（1，4）；（3）存在点P使得，理由如下：如图2，在AB的延长线上截取BF＝BC，连接CF，过点B作BE⊥x轴，交CF于点E，连接AE，在Rt△BOC中，∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝BF＝5，∵AO＝2，∴AB＝BF＝5，∵BE⊥x轴，∴AE＝EF，∴∠EAB＝∠EFB＝ABC，∵F（8，0），C（0，4）．∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+4，令x＝3，则y＝，∴E（3，），∵A（﹣2，0），∴直线AE的解析式为：y＝x+1，联立：，解得：（舍），∴点P的坐标为．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．20．（2022秋•滕州市期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是线段BC上的一个动点，平行于y轴的直线EF交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先求出直线BC的解析式，然后设F（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），根据题意表示出△FBC面积，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）首先求出AB的长度，然后设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），根据S△PAB＝6列出方程求解即可．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．设F（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），∴EF＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴，当时，△FBC的面积有最大值．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．∵S△PAB＝6，∴，即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，解得：，，t3＝0，t4＝2，∵存在满足S△PAB＝6的点P，点P的坐标为或或（0，﹣3）或（2，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2022秋•望城区期末）如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．（1）求此抛物线解析式；（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为x＝2．可得a＝﹣，把A（﹣1，0）代入抛物线即可解决问题；（2）根据对称轴为x＝2．A（﹣1，0），可得B（5，0）求出直线BC解析式为y＝﹣x+，由第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，可得AF∥BC，然后求出直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组即可解决问题；（3）设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，然后分三种情况讨论解答即可．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝2．∴a＝﹣，∵A（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c，解得：c＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；（2）∵对称轴为x＝2．A（﹣1，0），∴B（5，0），∵直线BC过C（0，），B（5，0）点，∴直线BC解析式为y＝﹣x+，∵在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，∴AF∥BC，设直线AF的解析式为y＝﹣x+﹣k，把A（﹣1，0）代入得k＝，∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组得，解得，（舍去），∴点F的坐标为（6，﹣）；（3）如图，设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，∵点P是x轴上一点，∴设P（m，0），∵点B与点Q关于点P成中心对称，∴BP＝QP＝5﹣m，∴点Q坐标为（2m﹣5，0），∴OQ＝QP+OP＝5﹣2m，∴QT＝OQ+OT＝7﹣2m，∴QM＝OQ﹣OM＝5﹣2m﹣（2﹣2m）＝3，∵点E与点H关于点P成中心对称，顶点E（2，4），∴H坐标为（2m﹣2，﹣4），N坐标为（2，﹣4），根据勾股定理得：QE2＝QT2+ET2＝4m2﹣28m+65，HE2＝EN2+HN2＝4m2﹣16m+80，QH2＝42+32＝25，①当∠HQE＝90°时，QE2+QH2＝HE2，解得m＝，∴P点坐标为（，0）．②当∠QHE＝90°时，HE2+QH2＝QE2，解得m＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．③∵QH＝QP＝5，∴∠QHP＝∠QPH＞∠QEH，∴∠QEH≠90°，综上所得，当P点坐标为（，0）或（﹣，0）时，以点Q，H，E为顶点的三角形是直角三角形．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，对称的性质，掌握二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．22．（2022秋•雄县期末）已知抛物线G：y＝﹣+kx+4（k为常数）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）当k＝1时，如图所示：①抛物线G的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为（﹣2，0）；②在x轴正半轴上从左到右有D，E两点，且DE＝1，从点E向上作EF⊥x轴，且EF＝2，在△DEF沿x轴左右平移时，若抛物线G与边DF（包括端点）有交点，求点F横坐标的最大值比最小值大多少？（2）当抛物线G的顶点P的纵坐标yP取得最小值时，求此时抛物线G的函数解析式；（3）当k＜0，且x≥k时，抛物线G的最高点到直线l：y＝7的距离为2，直接写出此时k的值．【分析】（1）①根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴和点A的坐标；②根据抛物线对称轴右侧的图象经过点D时，此时点F的横坐标值最大；当抛物线对称轴左侧的图象经过点F时，此时点F的横坐标最小，列方程求解即可；（2）根据题意列方程求解即可；（3）根据题意分情况讨论即可．【解答】解：（1）①∵，k＝1，∴，∴对称轴为，∵与x轴有两个交点分别是A、B，∴，∴x1＝4，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0）．②当抛物线对称轴右侧的图象经过点D时，此时点F的横坐标值最大；当抛物线对称轴左侧的图象经过点F时，此时点F的横坐标最小．∵抛物线经过点D时，y＝0，∴，解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），∴x＝4．∵DE＝1，∴此时点F的横坐标为5，∵抛物线经过点F时，y＝2，∴，解得（舍去），∴，∴点F横坐标的最大值比最小值大；（2）∵，∴顶点P的纵坐标，当k＝0时，yP取得最小值，∴此时抛物线G的函数解析式为，（3）由（2）可得抛物线的对称轴为直线x＝k，∴当k＜0且时，处有最大值，∴y＝﹣×（k）2+k×k+4＝+4，此时所在的点是抛物线G的最高点．当直线l：y＝7在抛物线G的最高点上方时，可得方程：，解得（舍去），∴．当直线l：y＝7在抛物线G的最高点下方时，可得方程：，解得（舍去），∴，综上所述，k的值为或．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的综合题，熟记二次函数的图象与性质是解题的关键．23．（2022秋•泉州期末）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2.抛物线C2与x轴交于A、B两点（其中A点在左侧，B点在右侧），与y轴交于点C，连结BC．D为第一象限内抛物线C2上的一个动点．①若△BOC的面积是△BDC面积的倍，求D的坐标；②抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过D作DE⊥BC交BC于E，交x轴于F．当点F在线段OG上时，求的取值范围．【分析】（1）由抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，构建方程求出a即可；（2）①设D（m，﹣m2+2m+3），根据△BOC的面积是△BDC面积的倍，构建方程求解即可；②求出两种特殊位置，三角形面积的比值，可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2+4a＝0，∴a＝﹣1或0（0不符合题意舍去），∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x﹣1；（2）①如图，连接OD．由题意平移后抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得﹣x2﹣2x+3＝0．解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），设D（m，﹣m2+2m+3），∵△BOC的面积是△BDC面积的倍，∴×3×3＝[×3×m+×3×（﹣m2+2m+3）﹣×3×3]，解得m＝1或2，∴D（1，4）或（2，3）；②如图，当点F与点O重合时，∵OC＝OB，FE⊥CB，∴CE＝EB，∴＝1，当点F与G重合时，BE＝，∵BC＝3，∴CE＝2，∴＝＝2，观察图形可知：1≤≤2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．24．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是（﹣8，0），点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式；（2）依题补图1：连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q；当△OPQ和△OBD相似时，求m的值；（3）如图2，过点P作直线PQ∥BD，和x轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，当PQ与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标．【分析】（1）直接将A，B两点代入即可求解；（2）可设，由∠OQP＝∠BOD＝90°，则分两种情况：△POQ∽△BDO和△POQ∽△DBO分别求出PQ与OQ的关系即可；（3）求出直线BD解析式为，当直线PQ与的图象只有一个交点时，联立，，由Δ＝62﹣4×（﹣32+4n2）＝0，求出，直线PQ的解析式为，此时．【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣8，0）代入得，，解得，∴该二次函数的表达为；（2）如图：设，由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：当△POQ∽△BDO时，，∴，∴PQ＝2OQ，即，解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）；当△POQ∽△DBO时，，∴OQ＝2PQ，即，解或（舍去），综上所述，m的值为﹣4或；（3）如图，设直线BD解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BD解析式为，∵PQ∥BD，∴设直线PQ的解析式为，当直线PQ与的图象只有一个交点时，联立，整理得x2+6x﹣32+4n2＝0，∴Δ＝62﹣4×（﹣32+4n2）＝0，解得，∴当时，直线PQ的解析式为，此时直线PQ与的图象只有一个交点，令y＝0，则，解得，此时．【点评】本题考查二次函数的综合，解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．25．（2023春•福清市校级期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC＝CH，BH＝OB＝6∵AB＝10，∴AH＝4，设OC＝x，则AC＝8﹣x由勾股定理得：x＝3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO＝QH，|QA﹣QO|＝|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣8）．将x＝0，y＝6代入抛物线的解析式，得．∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM＝∠GAD，tan∠POM＝tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P．解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO＝∠DEA，PE＝DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE＝EG＝，ON＝OE﹣NE＝，NP＝DG＝．∴点P的坐标为．∵x＝时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（3）|QA﹣QO|的取值范围是．当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK＝AK，则|QA﹣QO|＝0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y＝﹣x+6，直线BC的解析式为：y＝﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ＝6，AQ＝10，∴|QA﹣QO|＝4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．26．（2022秋•丰都县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣1，3），与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（6，m），点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求直线CE的解析式；（2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求点P的坐标以及△PCE面积的最大值．（3）如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y′，y′经过点N，y′的顶点为点G，在新抛物线y′的对称轴上是否存在点H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线，即可求出抛物线解析式，再分别求出点C，点E，待定系数法即可求得直线CE解析式；（2）过点P作PH∥y轴交CE于点H，设P为（t，），则H为（t，﹣t+4），由铅垂法求得△PCE面积的表达式，最后求其最大值及P点坐标；（3）先求出直线AN的解析式，反向延长射线NA与抛物线的另一个交点记为点Q，求出点Q的坐标，根据点Q到点N的运动，可求出抛物线y′的顶点G的坐标，再进行分类讨论：分点M，点G，点H为顶点的三种情况，分别进行计算求解即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1，3）代入抛物线，得，∴b＝，∴抛物线的解析式为，∵在中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∵点E在抛物线上，∴把E（6，m）代入，得，∴E（6，﹣4），设直线CE的解析式为y＝kx+b1则，∵C（0，4），E（6，﹣4），∴，解得，∴直线CE的解析式为y＝﹣x+4．（2）过点P作PH∥y轴，交直线CE于点H，设P为（t，），则H为（t，﹣t+4），∴PH＝﹣（﹣t+4）＝﹣+2t，∴△PCE面积：S＝×6×（﹣+2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵a＜0，∴当t＝3时，△PCE面积的最大值为9，此时，点P的坐标为（3，3）．（3）∵抛物线＝，∴当x＝1时，y有最大值，∴M（1，），∴抛物线对称轴为x＝1，∴D（1，0），∵点D右移一个单位到点N，∴N（2，0），∵A（﹣1，3），N（2，0），∴直线AN解析式为y＝﹣x+2，∴直线AN与抛物线的交点为A（﹣1，3），另一交点设为Q，则Q（6，﹣4），∵抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y′，y′经过点N（2，0），∴抛物线向左平移了4个单位，向上平移了4个单位，∴新抛物线y′＝，∴对称轴为x＝﹣3，顶点G（﹣3，），设H（﹣3，h），则MG＝，MH＝，GH＝|h﹣|，假设△MGH是等腰三角形，则分三种情况讨论：当M为顶点时，由MG＝MH得，＝，∴h＝或，∴H（﹣3，）或（﹣3，），当G为顶点时，由MG＝GH得，＝|h﹣|，∴h＝或，∴H（﹣3，）或（﹣3，），当H为顶点时，由MH＝GH得，＝|h﹣|，∴h＝，∴H（﹣3，），∴存在点H，使得△MGH是等腰三角形，点H的坐标为（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）．【点评】本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰三角形的存在性等；求△PCE面积最大值的铅垂法是解答（2）的关键；分点M，点G，点H为顶点的三种情况，分别进行计算是解答问题（3）的关键．27．（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），即可由S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP求得答案；（3）分别从当AM＝AC，CM＝CA，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，＝＝＝，∵，∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为，（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设点M的坐标为（1，t），则：AM2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，AC2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，CM2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2，设AC的中点为Q，则点Q的坐标为，即，∴，，当AM＝AC时，则AM2＝AC2，∴（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，，∴、，；当CM＝CA时，则CM2＝CA2，∴（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，t1＝0，t2＝﹣6，∴M3（1，0）、M4（1，﹣6）（舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形）；当AC为对角线时则有：AQ2+QM2＝AM2，∴＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，解得，t＝﹣1，∴M5（1，﹣1），∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、M3（1，0）、M5（1，﹣1）．【点评】此题考查了二次函数的综合，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．28．（2022秋•兴县期末）综合与探究如图1，已知抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点D（m，n）是线段BC上的动点，过点D作DE⊥x轴垂足为E．（1）请直接写出点A，B，C坐标以及直线BC的解析式；（2）若△ADE的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？（3）如图2，将△ADE以点D为中心，顺时针旋转90°得到△A'DE'（点A与点A′对应），则当A′恰好落在抛物线上时，求出此时点D的坐标．【分析】（1）将y＝0代入y＝﹣x2+3x+4即可求出点A和点B的坐标，将x＝0代入y＝﹣x2+3x+4，求出点C的坐标，再用待定系数法，即可求出直线BC的解析式；（2）根据题意，将n用m表示出来，根据三角形的面积公式，即可得出S关于m的函数关系式，将其化为顶点式，即可求出最值；（3）根据平面直角坐标系中点的坐标和旋转的性质，将A′的坐标用m表示出来，再代入y＝﹣x2+3x+4即可进行解答．【解答】解：（1）将y＝0代入y＝﹣x2+3x+4得：0＝﹣x2+3x+4，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），将x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得：y＝4，∴C（0，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，将B（4，0），C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，D（m，n），∴E（m，0），∴DE＝n，AE＝m+1，∴，∵把D（m，n）代入y＝x+4得：n＝﹣m+4，∴，∴当时，S有最大值，最大值为．（3）∵△ADE以点D为中心，顺时针旋转90°得到△A'DE'，∴DE＝DE'＝﹣m+4，AE＝A'E'＝m+1，∠EDE'＝90°，∵DE⊥x轴，∴DE'∥x轴，∴点A'的横坐标为：m﹣（﹣m+4）＝2m﹣4，点A'的纵坐标为：﹣m+4+m+1＝5，即A'（2m﹣4，5），把A'（2m﹣4，5）代入y＝﹣x2+3x+4得：5＝﹣（2m﹣4）2+3（2m﹣4）+4，解得：，，当时，，当时，，∴点D的坐标为：或．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，旋转的性质．29．（2022秋•延边州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D在射线CO上运动，过点D作直线EF∥x轴，交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧）．（1）求该抛物线的解析式和对称轴；（2）若EF＝2OC，求点E的坐标；（3）若抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长；（4）以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转90°得到点B′，直接写出点B′落在抛物线上时点D的坐标．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式，进而可得出抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）代入x＝0，求出y值，进而可得出点C的坐标及OC的长，结合EF＝2OC，可设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点F的坐标为（m+6，﹣m2+2m+3），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再将其代入点E的坐标中即可求出结论；（3）由（1）可知：抛物线的顶点坐标为（1，4）．设直线EF的解析式为y＝n，则点P的坐标为（1，2n﹣4），由点P到x轴的距离等于1，可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出n的值，将y＝n代入抛物线解析式中可求出点E，F的横坐标，作差后即可得出EF的长；（4）设点D的坐标为（0，a），过点B′作B′M⊥y轴于点M，分点D在y轴正半轴及点D在y轴负半轴两种情况考虑，易证△B′DM≌△DBO（AAS），利用全等三角形的性质可得出B′M＝DO，DM＝BO＝3，进而可得出点B′的坐标为（﹣a，a﹣3），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a值，取其符合题意的值即可得出点D的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3．设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点F的坐标为（m+6，﹣m2+2m+3），∴﹣（m+6）2+2（m+6）+3＝﹣m2+2m+3，解得：m＝﹣2，∴点E的坐标为（﹣2，﹣5）；（3）由（1）可知：抛物线的顶点坐标为（1，4）．设直线EF的解析式为y＝n，则点P的坐标为（1，2n﹣4），根据题意得：|2n﹣4|＝1，解得：n＝或n＝．当n＝时，﹣x2+2x+3＝，解得：x1＝，x2＝，∴此时EF＝x2﹣x1＝﹣＝；当n＝时，﹣x2+2x+3＝，解得：x1＝，x2＝，∴此时EF＝x2﹣x1＝﹣＝．∴线段EF的长为或；（4）设点D的坐标为（0，a），过点B′作B′M⊥y轴于点M，如图所示．分两种情况考虑：当点D在y轴正半轴时，∵∠BDO+∠B′DM＝90°，∠BDO+∠DBO＝90°，∴∠B′DM＝∠DBO．在△B′DM和△DBO中，，∴△B′DM≌△DBO（AAS），∴B′M＝DO，DM＝BO＝3，∴点B′的坐标为（﹣a，a﹣3），∴a﹣3＝﹣（﹣a）2+2（﹣a）+3，整理得：a2+3a﹣6＝0，解得：a1＝（不符合题意，舍去），a2＝，∴点D的坐标为（0，）；当点D在y轴负半轴时，同理可证出：△B′DM≌△DBO（AAS），∴B′M＝DO，DM＝BO＝3，∴点B′的坐标为（﹣a，a﹣3），∴a﹣3＝﹣（﹣a）2+2（﹣a）+3，整理得：a2+3a﹣6＝0，解得：a1＝，a2＝（不符合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，）．综上所述，点D的坐标为（0，）或（0，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解含绝对值符号的一元一次方程以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据给定的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据EF＝2OC，用点E的横坐标表示出点F的横坐标；（3）由点P到x轴的距离，找出关于n的含绝对值符号的一元一次方程；（4）构造全等三角形，利用二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元二次方程．30．（2023春•青秀区校级期末）如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标；（3）过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点Q（m，n），且n≥﹣8时，求d的取值范围．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）过P作PK∥y轴交BC于K，求出C（0，4），S△ABC＝×6×4＝12，由B（4，0），C（0，4）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则K（m，﹣m+4），可得PK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，根据△PBC的面积等于△ABC面积的，有×（﹣m2+2m）×4＝12×，即可解得点P的坐标为（1，）或（3，）；（3）分两种情况：①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，求出新图象过点（6，﹣8），当直线y＝﹣x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8＝﹣×6+d，得d＝﹣5，可知当﹣5≤d＜4时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；②当公共点Q（m，n）在C（0，4）上方时，求出有两个相等的实数解时d＝；即可得当d＞时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）过P作PK∥y轴交BC于K，如图：在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），∵A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6，∴S△ABC＝×6×4＝12，由B（4，0），C（0，4）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则K（m，﹣m+4），∴PK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵△PBC的面积等于△ABC面积的，∴×（﹣m2+2m）×4＝12×，解得m＝1或m＝3，∴点P的坐标为（1，）或（3，）；（3）①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，在y＝﹣x2+x+4中，令y＝﹣8得：﹣8＝﹣x2+x+4，解得x＝6或x＝﹣4，∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，∴新图象过点（6，﹣8），当直线y＝﹣x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8＝﹣×6+d，解得d＝﹣5，如图：∵C（0，4），当﹣5≤d＜4时，观察图象可知直线y＝﹣x+d与翻折后的抛物线无交点，∴当﹣5≤d＜4时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；②当公共点Q（m，n）在C（0，4）上方时，如图：若有两个相等的实数解，即﹣x2+x+4﹣d＝0的Δ＝0，则（）2﹣4×（﹣）（4﹣d）＝0，解得d＝；由图可知，当d＞时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；综上所述，d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等，解题的关键是数形结合思想的应用．31．（2023春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是（1，0）．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，∴顶点坐标为（﹣7，8）；（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分两种情况：①当a＜0时，1+＜1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1+＞1，i）当1＜1+≤3时，即a≥，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；ii）当1+＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（4）分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，∴a＝，当a＝时，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴0＜a＜；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．32．（2023春•长沙期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A（3，0）和点B（﹣1，0），代入解析式求解即可；（2）由S1﹣S2＝1得S1＝S2+1，从而S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，据此列方程求解即可；（3）分类当CQ为对角线和菱形边时，利用直线AC与x轴成45°角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标．【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设D（x，y），对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∵S1﹣S2＝1，∴S1＝S2+1，∴S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，∴×4×y＝×4×3+1，∴y＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝1+或x＝1﹣；∴点D的坐标为（1+，）或（1﹣，）；（3）存在，理由如下：设直线AC的解析式为：y＝kx+b′，∴，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3；①当CQ为菱形的对角线