14解直角三角形（练习）

第一章直角三角形的边角关系第四节解直角三角形精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD、CE相交于点F，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】过作于先证明设再用含的代数式表示再证明利用相似三角形的性质可得的值，从而可得答案．【详解】解：过作于∠ACB=90°，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，设故选：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·浙江省温岭市第四中学九年级期中）已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，AB=4，连接AC，若∠CAD=30°，则CD为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过C点作CH⊥AD延长线于H点，由CH=AB=4求出AH的长，再减去AD即得到DH的长，再在Rt△DCH中使用勾股定理即可求出CD．【详解】解：如图所示，过C点作CH⊥AD延长线于H点，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠BAH=90°，且∠H=90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH=4，在Rt△ACH中，，∴DH=AHAD=，∴在Rt△CDH中，，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握30°，60°，90°三角形中三边之比为是解决本题的关键．3．（2020·庆云县渤海中学八年级期中）△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（）A．30° B．45° C．60° D．15°【答案】D【分析】在Rt△ADC中，由得到∠ADC＝60°，而∠ADC＝45°＝∠B＋∠DAB，根据等腰直角三角形即可求出∠ADC．【详解】解：在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ADC＝60°

而∠ADC＝∠B＋∠DAB

∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B＝45°

∴∠DAB＝15°．

故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．4．（2021·河南南阳市·九年级期末）如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔在船的北偏东方向，且与船相距海里；上午11时到达处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时【答案】B【分析】易得∠AOB=30°，利用30°的余弦函数可求得OB的长，除以3即为所求的航行速度．【详解】解：连接AB，∵上午8时到达O处，测得一灯塔在船的北偏东方向，上午11时到达处，测得灯塔在船的正北方向∴∠AOB=90°60°=30°，∠ABO=90°∴在Rt△AOB中，OB=海里∴这艘船航行的速度为45÷3=15海里/时故选：B

【点睛】本题考查锐角三角函数的运用，正确理解题意掌握相关概念正确计算是解题关键．5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过，此商场门前的台阶高出地面米，则斜坡的水平宽度至少需（）（精确到米．参考值：，，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】由题意得：结合列方程求解并检验即可得到答案．【详解】解：由题意得：，经检验：符合题意，所以斜坡的水平宽度至少需故选：【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题的关键．6．（2019·山西九年级期末）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（）A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了【详解】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º，∴BD=AD=cos∠DAB•AB=，∵，∴CD=ACAD=km，在Rt△CDB中，∵BD=1km，CD=km，∴tan∠C=，∵tan30º=，∴∠C=30º，景点B在景点C北偏东30º方向，故选择：B．【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键．7．（2020·安徽九年级月考）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】过C点作CE⊥AB，根据解Rt△BCE求出BE，再利用Rt△ACE求出AE，故可求解．【详解】过C点作CE⊥AB，∵∴CE=BD=am,在Rt△BCE中，BE=CEtan=在Rt△ACE中，AE=CEtan=∴=+故选A．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切的定义．8．（2020·合肥实验学校九年级月考）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60º方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．150m B．150m C．150m D．100m【答案】C【分析】由题意得知，进而在中直接计算即可．【详解】由题：，，，在中，；故选：C．【点睛】本题考查了用特殊角的三角函数值求直角三角形的边长问题，能够准确记忆三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．二、填空题9．（2021·山东潍坊市·九年级期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则__________．【答案】【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，再利用勾股定理求得AD的长，从而可以得到cos∠CAB的值．【详解】解：作CD⊥AB，交AB于点D，由图可得，，∵，解得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）在中，，动点P从点A出发，以的速度沿移动到点B，则为等腰三角形时，点P的运动时间为_________．【答案】秒或1秒或秒．【分析】根据，利用勾股定理求出AB的长，设点P的运动时间为t秒，则，，由①,②,③分三种情况求解即可．【详解】解：在中，，，设点P的运动时间为t秒，则，，①由,过点C作CD⊥AB于D，，在中，，，解得，，当P出发秒时，是等腰三角形；②由时，解得，，∴当P出发1秒时，是等腰三角形；③由时，过点P作于E，，在中，，解得，，∴当P出发秒时，是等腰三角形．综上所述，当点P出发秒或1秒或秒时，是等腰三角形．故答案为：秒或1秒或秒．【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的判定，解答此题的关键是首先根据勾股定理求出AB的长，然后再利用等腰三角形的性质去判定．11．（2021·山东东营市·九年级期末）如图是一斜坡的横截面，某人沿着坡度为的斜坡从点A向上走了5米到点B处，则此时人离水平面的垂直高度为_____．【答案】【分析】如图，过作于由，可得：设则再利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：如图，过作于，设则由（负根舍去），所以此时人离水平面的垂直高度为故答案为：【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度的含义，勾股定理的应用，掌握坡度的含义是解题的关键．12．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行小时到达处，测得岛屿在其北偏西方向，保持航向不变又航行小时到达处，此时海监船与岛的之间的距离(即的长)为_____________________海里．(结果用根号表示)【答案】【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，再利用，求解PA即可解决问题．【详解】解：由题意得：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意得BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，PA=AB•tan60°，∴（海里），故答案为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用方位角问题，解题的关键是证明PB=PC．提升篇提升篇三、解答题13．（2021·山东青岛市·九年级期末）如图，一艘货轮由港沿北偏东度方向航行海里到达港，装配好货物再沿北偏西度方向航行运抵港，港在港的正北方向．求两港之间的距离．(结果精确到海里）（参考数据：）【答案】海里【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，构造出直角三角形，分别解直角三角形即可.【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，在Rt△ABD中，∵，，∵∠CBE=58°，∴∠DBC=32°，在,∴海里答：两刚之间距离海里.【点睛】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.14．（2021·云南壮族苗族自治州·九年级期末）如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是BC边的中点，将沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF．（1）求证：；（2）求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据点为的中点，可得，在根据图形翻折后对应边相等可得，即可求解（2），，利用勾股定理可求得，根据可得，根据翻折的性质可得，根据内角和相加等于，可求得，进而可求得，【详解】（1）∵点为的中点，∴，由翻折的性质可知，∴（2）∵,点为的中点,∴,在中，由勾股定理可得：∴∵∴由翻折的性质可知，∵，∴∴∴．【点睛】本题考查了翻着变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于利用勾股定理进行运算，把所求角的三角函数值利用等量关系转换到可求解的直角三角形中．15．（2020·福建省福州延安中学）如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，无人机飞行的高度为AD，且D，B，C在同一水平线上．（1）有下列说法：①无人机俯视桥头B的俯角为∠EAC；②无人机俯视桥头C的俯角为∠C；③站在桥头B处看无人机的仰角为∠ABD；④从C处走向B处的过程中观察无人机，仰角越来越大；其中正确的是（只填序号即可）．（2）若∠EAB=60°，∠EAC=30°，桥BC的长度为24米，求无人机飞行的高度AD（结果保留整数，参考数据，）．【答案】（1）③④；（2）约为21米．【分析】（1）由仰角和俯角的定义分别进行判断即可；（2）由∠EAB＝60°，∠EAC＝30°可得出∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，进而可得出CD＝AD、BD＝AD，再结合BC＝24，即可求出AD的长度．【详解】解：（1）①无人机俯视桥头B的俯角为∠EAB，故①不正确；②无人机俯视桥头C的俯角为∠EAC，故②不正确；③站在桥头B