2024-2025学年新教材高中数学第六章概率3.1离散型随机变量的均值学案北师大版选择性必修第一册

PAGE§3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值必备学问·自主学习导思1．怎样求随机变量X的均值？2．均值的性质主要有哪些？1.离散型随机变量的均值设离散型随机变量X的分布列如表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(1)数学期望的意义是什么？提示：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的均值与样本平均值有什么区分？提示：随机变量的均值是一个常数，它不依靠于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而改变．对于简洁随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．2．均值的性质(1)假如X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量，并且有EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．(2)对于随意实数a，b，X，Y都是随机变量，肯定有E(aX＋bY)＝aEX＋bEY.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的改变而改变．()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．()(3)若随机变量X的数学期望EX＝2，则E(2X)＝4.()(4)随机变量X的均值EX＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).()提示：(1)×.随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．(2)×.随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．(3)√.由均值的性质可知．(4)×.因为EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.2．已知某一随机变量ξ的分布列如表所示，若Eξ＝6.3，则a的值为()ξa79Pb0.10.4A.4B．5C．6D．7【解析】选A.依据随机变量ξ的分布列的性质，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5，又Eξ＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3.所以a＝4.3．(教材例题改编)若随机变量X的分布列为X123Paba则X的数学期望EX＝()A．2a＋bB．a＋2bC．2D．3【解析】选C.由EX＝X1P(X1)＋X2P(X2)＋…＋XnP(Xn)，所以EX＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)，而2a＋b＝1，所以EX＝2.4．设EX＝10，则E(3X＋5)＝________．【解析】E(3X＋5)＝3EX＋5＝3×10＋5＝35.答案：355．盒子里有4个球，其中1个红球、1个绿球、2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；Eξ＝________．【解析】因为ξ＝0对应事务为第一次拿红球或第一次拿绿球、其次次拿红球，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，随机变量ξ＝0，1，2，P(ξ＝1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，所以Eξ＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1.答案：eq\f(1,3)1关键实力·合作学习类型一求离散型随机变量的均值(数学运算)1．(2024·武汉高二检测)某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为()A．1.5B．1.6C．1.7D．1.82．已知离散型随机变量X的分布列为X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)meq\f(1,27)则X的数学期望EX＝()A．eq\f(2,3)B．1C．eq\f(3,2)D．23．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参与考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参与以后的考试，否则就始终考到第4次为止．假如李明确定参与驾照考试，设他每次参与考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参与驾照考试次数X的分布列和X的均值．【解析】1.选C.由已知得EX＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.2．选B.由eq\f(8,27)＋eq\f(4,9)＋m＋eq\f(1,27)＝1，得m＝eq\f(2,9)，所以EX＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.3．X的取值分别为1，2，3，4.X＝1，表明李明第一次参与驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，其次次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明实际参与考试次数X的分布列为k1234P(X＝k)0.60.280.0960.024所以X的均值为EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．(2)求出X取每个值的概率．(3)写出X的分布列(有时也可省略).(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．类型二离散型随机变量均值的性质(逻辑推理、数学运算)【典例】1.(2024·合肥高二检测)已知随机变量X的分布列如表所示，则E(2X－5)的值等于()X12345P0.10.2b0.20.1A.1B．2C．3D．42．(2024·太原高二检测)随机变量ξ的分布列如下，且满意Eξ＝2，则E(aξ＋b)的值()ξ123PabcA.等于0B．等于1C．等于2D．无法确定，与a，b有关【解析】1.选A.由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，所以EX＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，所以E(2X－5)＝2EX－5＝2×3－5＝1.2．选B.由随机变量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝2a＋b＝1.aX＋b型的随机变量均值的求法对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aEX＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式明显前者较便利．(2024·天津高二检测)已知离散型随机变量ξ的分布列如下，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的数学期望为()ξ012P0.42kkA.3.2B．3.4C．3.6D．3.8【解析】选B.由题意，依据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以数学期望为Eξ＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8，又由随机变量η＝3ξ＋1，所以Eη＝3Eξ＋1＝3×0.8＋1＝3.4.类型三离散型随机变量均值的实际应用(数据分析)【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，假如此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【思路导引】eq\x(依据利润的意义写出X的取值)→eq\x(写出X的分布列)→eq\x(求出均值EX)→eq\x(利用期望回答问题)【解析】(1)X的全部可能取值为6，2，1，－2.P(X＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(X＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事务类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)比照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．在一次射击竞赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是谁？【解析】设这次射击竞赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3依据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；因为EX2＞EX1，故这次射击竞赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大．备选类型利用基本不等式解决与离散型随机变量有关的最值问题(数学运算)【典例】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分状况)，则ab的最大值为()A．eq\f(1,48)B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,12)D．eq\f(1,6)【解析】选D.3a＋2b＋0·c＝2，即3a＋2b＝2，所以6ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝1，因此ab≤eq\f(1,6)，当且仅当3a＝2b时取等号．本典例中条件不变，求eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值．【解析】eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))eq\f(3a＋2b,2)＝eq\f(1,2)(6＋eq\f(2,3)＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)＋2\r(\f(4b,a)·\f(a,b))))＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)时取等号．所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为eq\f(16,3).先依据数学期望公式得等量关系，再依据基本不等式求最值课堂检测·素养达标1．已知Y＝5X＋1，EY＝6，则EX的值为()A．eq\f(6,5)B．5C．1D．31【解析】选C.因为EY＝E(5X＋1)＝5EX＋1＝6，所以EX＝1.2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发觉飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发觉目标的雷达台数为X，则EX为()A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P(X＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.3．已知0<a<eq\f(2,3)，随机变量ξ的分布列如图，则当a增大时，ξ的期望Eξ的改变状况是()ξ－101Peq\f(1,3)abA．Eξ增大B．Eξ减小C．Eξ先增后减D．Eξ先减后增【解析】选B.由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Eξ＝－\f(1,3)＋b,\f(1,3)＋a＋b＝1))⇒Eξ＝－eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)－a＝eq\f(1,3)－a，所以当a增大时，ξ的期望Eξ减小．4．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．依据预料知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2000元B．2200元C．2400元D．26