2024高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性教师文档教案文北师大版

PAGE第三节函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书第16页[基础梳理]1．函数的奇偶性奇偶性条件图像特点偶函数对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝－f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．1．奇、偶函数的一个必要不充分条件奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(－x)＋f(x)＝0或eq\f(f（－x）,f（x）)＝－1(f(x)≠0)，则f(x)为奇函数，若f(－x)－f(x)＝0或eq\f(f（－x）,f（x）)＝1(f(x)≠0)，则f(x)为偶函数．3．奇偶性的六个重要结论(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．5．函数对称性问题的结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．[四基自测]1．(基础点：函数奇偶性推断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|答案：D2．(基础点：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________．答案：1－e3．(易错点：奇函数)(2024·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________．答案：14．(基础点：奇函数图像对称性)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的对称中心为________．答案：(0，0)授课提示：对应学生用书第17页考点一函数奇偶性的推断挖掘1推断详细函数的奇偶性/自主练透[例1](1)已知函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，则f(x)()A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数[解析]x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，f(x)为奇函数，又因y1＝3x为增函数，y2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)为增函数，故y＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)为增函数，故选B.[答案]B(2)函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0,x－1＞0))，知x＞1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．[答案]C(3)函数f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)，则f(x)为()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数 D．非奇非偶函数[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，,1－x2≥0，))得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1，1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数，故选C.[答案]C[破题技法]1.函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必需关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必具其一．挖掘2推断非详细函数的奇偶性/互动探究[例2](1)已知y＝f(x)满意f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项肯定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数 B．f(－x＋1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数 D．f(x＋1)－1是奇函数[解析]依据题中条件可知函数f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，故f(x＋1)的图像关于点(0，1)中心对称，则f(x＋1)－1的图像关于点(0，0)中心对称，所以f(x＋1)－1是奇函数．故选D.[答案]D(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数[解析]由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.[答案]C[破题技法]判定奇偶性的方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必需先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图像法：(3)性质法：利用奇偶性的运算关系．考点二函数的周期性及应用挖掘利用周期求值/互动探究[例](1)(2024·高考全国卷Ⅱ)已知ƒ(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x)．若ƒ(1)＝2，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50[解析]∵ƒ(x)是奇函数，∴ƒ(－x)＝－ƒ(x)，∴ƒ(1－x)＝－ƒ(x－1)．由ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x)，∴－ƒ(x－1)＝ƒ(x＋1)，∴ƒ(x＋2)＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－ƒ(x＋2)＝－[－ƒ(x)]＝ƒ(x)，∴函数ƒ(x)是周期为4的周期函数．由ƒ(x)为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x)，∴ƒ(x)的图像关于直线x＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.故选C.[答案]C(2)已知函数y＝f(x)，满意y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq\f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝()A.eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．π D．eq\f(4π,3)[解析]y＝f(－x)为偶函数，则y＝f(x)为偶函数，关于x＝0对称，y＝f(x＋2)为偶函数，关于x＝2对称，∴T＝4，∴F(x)＝f(x)＋f(－x)＝2f(x∴F(3)＝2f而f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝f(1)＝eq\f(π,3)，∴F(3)＝eq\f(2π,3).故选B.[答案]B[破题技法]1.若函数的最小正周期为T，在图像上表现为每隔T单位，图像相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x)．2．求函数周期的方法方法解读适合题型定义法详细步骤为：对于函数y＝f(x)，假如能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T简单确定的函数递推法采纳递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式考点三函数性质的综合应用挖掘1利用性质求解析式/互动探究[例1](1)(2024·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.[答案]D(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________．[解析]令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．[答案]f(x)＝log2(3－x)挖掘2求函数值/互动探究[例2](1)对随意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋fA．0 B．2C．3 D．4[解析]y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f[答案]B(2)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3 B．0C．－1 D．－2[解析]设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，明显F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.故选B.[答案]B挖掘3求参数/互动探究[例3](1)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________．[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.[答案]－1(2)(2024·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________．[解析]设x＞0，则－x＜0.∵当x＜0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.[答案]－3(3)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝__________．[解析]由题意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.[答案]1挖掘4解不等式、比较大小/互动探究[例4](1)(2024·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满意－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3][解析]∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.[答案]D(2)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)[解析]∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(10x－10－x)为增函数，∴f(x)在R上是递增函数，故f(1－2x)＋f(3)＞0⇒f(1－2x)＞－f