漳州市重点中学2025届数学高二上期末检测试题含解析

漳州市重点中学2025届数学高二上期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数极小值为（）A. B.C. D.2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.3．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A.4 B.-4C.2 D.-24．设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.5．两圆和的位置关系是（）A.内切 B.外离C.外切 D.相交6．将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.7．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A. B.4C.3 D.28．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.659．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202210．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（）A. B.C. D.11．在中，角、、的对边分别是、、，若．则的大小为（）A. B.C. D.12．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线中心在坐标原点，左右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与垂直的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为________14．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则__________15．已知，，若，则______16．等差数列的前项和为，已知，则__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和分别是，满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列对任意都有恒成立，求.18．（12分）已知数列满足（1）求；（2）若，且数列的前n项和为，求证：19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆M：＝1的右焦点重合.（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，当m为何值时，＝0.20．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直问题：已知直线过点M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若与圆相交于点A、B，求弦AB的长21．（12分）如图，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长22．（10分）已知函数在处取得极值确定a的值；若，讨论的单调性

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.【详解】对函数求导得，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减所以，函数的极小值为.故选：A.2、A【解析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为，所以，，所以，函数图象的对称中心为，将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数为奇函数.故选：A3、B【解析】根据抛物线和椭圆焦点与其各自标准方程的关系即可求解.【详解】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，∴.故选：B.4、D【解析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.【详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，，且时，，有两个零点等价于与的图象有两个交点，画出的图象，如下图所示，由图可得，时，与的图象有两个交点，此时，函数有两个零点，实数m的取值范围是，故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质5、A【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆圆心距为，则，因此，两圆和内切.故选：A.6、A【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.【详解】由已知的函数逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.故.故选：A7、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由纯虚数，∴，解得：，则，故选：C8、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.9、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解【详解】∵抛物线C：，即，由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为，由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条，故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是故选：A10、A【解析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以故选：A11、B【解析】利用余弦定理结合角的范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值.【详解】因为，则，则，由余弦定理可得，因为，则，故.故选：B.12、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】判断出三角形的形状，求得点坐标，由此列方程求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意设双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，右焦点，不妨设.由于，所以是线段的中点，由于，所以是线段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，则.直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由解得，则，即，化简得，所以双曲线的离心率为.故答案为：14、【解析】由题意画出图形，写出直线的方程，与抛物线方程联立求出的坐标，进一步求出的坐标，求得即可求解【详解】解：如图，由抛物线，得，，则，与抛物线联立得，解得、，，，，，为等边三角形，，过作轴的垂线交轴于，设，，，，，在抛物线上，，解得，，，，则，故答案为：15、【解析】根据空间向量垂直得到等量关系，求出答案.【详解】由题意得：，解得：故答案为：16、【解析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，由等差数列、等比数列的定义即可求解；（2）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，求出，最后利用错位相减法即可得答案.【小问1详解】解：因为，，所以，，得，所以是以2为首项2为公差的等差数列，是以1为首项2为公差的等差数列，所以，，所以；因为，所以，又由得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以.【小问2详解】解：当时，，当时，，得，即，记，则,,则.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.（2）利用放缩法证得结论成立.【小问1详解】依题意，，，，猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，结论成立，假设当时结论成立，即，由，，所以当时，有，结论成立，所以当时，.【小问2详解】由（1）得，且为单调递增数列，所以.所以.19、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由椭圆的右焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可【小问1详解】由题意，椭圆＝1的右焦点为（1，0），抛物线y2＝2px的焦点为（，0），所以，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；【小问2详解】因为直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因为，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.20、（1）（2）【解析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.【小问1详解】选条件①：∵直线过点(3，5)及(－1，2)，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；选条件②：∵直线的斜率为，直线与直线平行，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为；即；选条件③：∵直线的斜率为，直线与直线垂直，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；【小问2详解】圆心为(2，3)，半径为2，圆心到直线的距离为∴21、（1），（2）【解析】（1）推导出，以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长【详解】解（1）在直四棱柱中，因为平面，平面，平面，所以因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为点为的中点，所以，则，设平面一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角的大小为，因为直线与平面所成角的正弦值为