北京市通州区2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析

北京市通州区2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，内角的对边分别为，若，则角为A. B.C. D.2．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D3．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)4．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.5．圆的圆心坐标与半径分别是（）A. B.C. D.6．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）A. B.C. D.7．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)8．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A.6 B.36C.10 D.9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（）A. B.C. D.10．设，，，…，，，则（）A. B.C. D.11．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（）A. B.C. D.12．已知直线，，，则m值为（）A. B.C.3 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______14．已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则______.15．随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为______16．某古典概型的样本空间，事件，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.18．（12分）已知直线恒过抛物线的焦点F（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线的方程19．（12分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆M：＝1的右焦点重合.（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，当m为何值时，＝0.21．（12分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；（2）试求游乐园面积的最大值.22．（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】因为，那么结合，所以cosA==，所以A=，故答案为A考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.2、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.3、B【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.4、C【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】将圆C的方程化为标准方程得，所以．因为圆C上有到的距离为1的点，所以圆C与圆：有公共点，所以因为，所以，解得，故选：C5、C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.【详解】由题可知，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3，故选.6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】，0，，，1，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D7、D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数，所以在上递增，所以，即.故选：D8、B【解析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论【详解】圆标准方程为，，半径为，圆标准方程为，，半径为，两圆有三条公切线，则两圆外切，所以，即，点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，，所以，所以的最小值为故选：B9、C【解析】根据椭圆的定义可得，由即可求解.【详解】由，可得根据椭圆的定义，所以.故选：C10、B【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.【详解】，，，，，……，以此类推，，所以.故选：B11、B【解析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】在中，由正弦定理得：.故选：B.12、C【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】解：因为，且，所以，解得；故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.14、3【解析】先求点坐标，再由已知得Q点坐标，由列方程得解.【详解】抛物线：()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，，，因为，所以，，所以3故答案为：3.15、##【解析】列举出所有情况，利用古典概型的概率公式求解即可【详解】随机投掷一枚均匀的硬币两次，共有：正正，正反，反正，反反共4种情况，两次都是正面朝上的有：正正1种情况，所以两次都正面朝上的概率为，故答案为：16、##0.5【解析】根据定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解（2）【解析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.【小问1详解】连接，交于点，则为中点，因为，于，则为中点，连接，则，又因为平面，平面,所以平面；【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由可得，令，得，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，，则平面与平面所成角的余弦值为.18、（1）（2）或【解析】（1）把直线化为，得到抛物线的焦点为，求得，即可求得抛物线的方程；（2）联立方程组，得到，，结合，列出方程求得的值，即可求得直线的方程【小问1详解】解：将直线化为，可得直线恒过点，即抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】解：由题意显然,联立方程组，整理得，设，，则，，因为，所以，解得，所以或，所以直线的方程为或19、【解析】设圆心坐标为，根据两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值．从而求出圆的圆心和半径，可得圆的方程【详解】解：∵圆心在直线，∴设圆心坐标为，根据点和在圆上，可得解之得.∴圆心坐标为，半径.因此，此圆的标准方程是20、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由椭圆的右焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可【小问1详解】由题意，椭圆＝1的右焦点为（1，0），抛物线y2＝2px的焦点为（，0），所以，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；【小问2详解】因为直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因为，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.21、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；（2）利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，设抛物线的方程为，将点代入方程可得，解得，则抛物线方程为，由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，则，【小问2详解】，令，解得，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，因此函数时，有最大值，22、（1）（2）【解析】（1）根据离心率的定义以及椭圆与抛物线焦点的关系，可以求出椭圆方程；（2）根据题意，可以利用铅锤底水平高的方法求四边形A