2025届福建省罗源县第一中学数学高二上期末联考试题含解析

2025届福建省罗源县第一中学数学高二上期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（）A. B.2C. D.32．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.83．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A. B.C. D.4．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（）A. B.C. D.6．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.7．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝18．若等差数列，其前n项和为，，，则（）A.10 B.12C.14 D.169．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A. B.C. D.10．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.11．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.12．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）14．已知曲线在处的切线方程为，则________15．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________16．已知直线与圆交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；18．（12分）已知函数满足.（1）求的解析式，并判断其奇偶性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.19．（12分）已知是数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前n项和.20．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.（1）求n的值；（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.21．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程22．（10分）已知数列{an}满足*（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.【详解】，第一次执行，，第二次执行，，第三次执行，，所以输出.故选：B2、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B3、C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为故选：C【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面4、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.5、B【解析】根据正弦定理直接计算可得答案.【详解】由正弦定理，,得,故选：B.6、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D7、A【解析】根据双曲线定义求解【详解】,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选：A第II卷（非选择题8、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，，即，得.故选：B.9、C【解析】利用古典概型计算公式计算即可【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球共有种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:,共有6种所以概率为故选:C10、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.11、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.12、B【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.【详解】因为，故可得，则，又，令，解得，令，解得，故在单调递减，在单调递增，又，故在区间上的最小值为.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.6；②..【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以故答案为：6；14、1【解析】先求导，由，代入即得解【详解】由题意，故答案为：115、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程【详解】由方程组可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案为：4x＋3y－6＝016、【解析】先求出圆心和半径，由于半径为2，弦|AB|=4，所以可知直线过圆心，从而得，求出，得到直线方程且倾斜角为135°，进而可求出|CD|【详解】圆,圆心(1,2),半径r=2,∵|AB|=4,∴直线过圆心(1,2),∴,∴,∴直线,倾斜角为135°,∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,∴.故答案为：4【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查两直线的位置关系，考查转化思想和计算能力，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）详见解析【解析】（1）求出的定义域，利用导数求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，变形求得，，，由此推测：然后用数学归纳法证明即可.【小问1详解】的定义域为，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为当时，，即令，得，即【小问2详解】；；由此推测：①下面用数学归纳法证明①（1）当时，左边右边，①成立（2）假设当时，①成立，即当时，，由归纳假设可得所以当时，①也成立根据（1）（2），可知①对一切正整数都成立18、（1），是奇函数（2）【解析】(1)由求出，进而求得的解析式，利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可；(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性，求出函数的最小值，将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.【小问1详解】因为，所以，所以.所以.的定义城为，且，所以是奇函数.【小问2详解】因为，在上均为增函数，所以在上增函数，所以.对任意，不等式恒成立，则，所以，即实数a的取值范固为.19、（1）（2）【解析】（1）当时，化简得到，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合裂项法，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列的前n项和，且，当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】解：由，可得，所以.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解【小问1详解】解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，所以，解得【小问2详解】解：设这辆小汽车车速的中位数为，则，解得小问3详解】解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，由直方图可知，小车速度在之间有辆，由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，小车速度在之间有辆，故估计某辆小汽车在该