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文档简介
2025届北京市西城区市级名校数学高三第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.2.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得3.设,,则()A. B. C. D.4.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.75.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A. B. C. D.6.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,8.已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.29.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()A.4 B. C. D.10.函数的大致图像为()A. B.C. D.11.已知复数,则()A. B. C. D.212.已知当,,时,,则以下判断正确的是A. B.C. D.与的大小关系不确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,且,则实数m的值是________.14.已知,,其中,为正的常数,且,则的值为_______.15.已知函数,令,,若,表示不超过实数的最大整数,记数列的前项和为,则_________16.不等式对于定义域内的任意恒成立,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.768381252618.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数(1)若,求证:(2)若,恒有,求实数的取值范围.20.(12分)已知椭圆()经过点,离心率为,、、为椭圆上不同的三点,且满足,为坐标原点.(1)若直线、的斜率都存在,求证:为定值;(2)求的取值范围.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.22.(10分)的内角,,的对边分别为,,,其面积记为,满足.(1)求;(2)若,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.2、A【解析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解析】
集合是一次不等式的解集,分别求出再求交集即可【详解】,,则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算,属于基础题.4、B【解析】
根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.5、C【解析】
由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径,根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半径,即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,如图:由底面边长可知,底面三角形的顶角为,由正弦定理可得,解得,三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,所以,该几何体外接球的表面积为:.故选:C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题,由三视图求几何体的表面积,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.6、C【解析】
设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.7、D【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.8、B【解析】
求出圆心,代入渐近线方程,找到的关系,即可求解.【详解】解:,一条渐近线,故选:B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率,是基础题.9、C【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点,得到,再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆,所以,解得,因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,即,解得,此时,因为,在递增,所以的最大值.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10、D【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为,当时,,排除B和C;当时,,排除A.故选:D.【点睛】本题考查图象的判断,取特殊值排除选项是基本手段,属中档题.11、C【解析】
根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.12、C【解析】
由函数的增减性及导数的应用得:设,求得可得为增函数,又,,时,根据条件得,即可得结果.【详解】解:设,则,即为增函数,又,,,,即,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据即可得出,从而求出m的值.【详解】解:∵;∴;∴m=1.故答案为:1.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算.14、【解析】
把已知等式变形,展开两角和与差的三角函数,结合已知求得值.【详解】解:由,得,,即,,又,,解得:.为正的常数,.故答案为:.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数,考查数学转化思想方法,属于中档题.15、4【解析】
根据导数的运算,结合数列的通项公式的求法,求得,,,进而得到,再利用放缩法和取整函数的定义,即可求解.【详解】由题意,函数,且,,可得,,又由,可得为常数列,且,数列表示首项为4,公差为2的等差数列,所以,其中数列满足,所以,所以,又由,可得数列的前n项和为,数列的前n项和为,所以数列的前项和为,满足,所以,即,又由表示不超过实数的最大整数,所以.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算,以及等差数列的通项公式,累加法求解数列的通项公式,以及裂项法求数列的和的综合应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.16、【解析】
根据题意,分离参数,转化为只对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,利用放缩法,得出,化简后得出,即可得出的取值范围.【详解】解:已知对于定义域内的任意恒成立,即对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,,,当时取等号,由可知,,当时取等号,,当有解时,令,则,在上单调递增,又,,使得,,则,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值,解决恒成立问题求参数值,涉及分离参数法和放缩法,考查转化能力和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)不同的样本的个数为.(2)①分布列见解析,.②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理计算不同的样本数.(2)名学生中物理和数学都优秀的有3名学生,任取3名学生,都优秀的学生人数服从超几何分布,故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算,并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【详解】(1)依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为名,18名男同学中应抽取的人数为名,故不同的样本的个数为.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名,∴的取值为0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列为0123∴.②∵,.∴线性回归方程为.当时,.可预测该同学的物理成绩为96分.【点睛】在计算离散型随机变量的概率时,注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何分布等).18、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试题解析:(1)对求导得.设直线与曲线切于点,则,解得,所以的值为1.(2)记函数,下面考察函数的符号,对函数求导得.当时,恒成立.当时,,从而.∴在上恒成立,故在上单调递减.,∴,又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的,使.∴;,,∴,从而,∴,由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,上恒成立.①当时,在上恒成立,即在上恒成立,记,则,当变化时,变化情况列表如下:
3
0
极小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②当时,,当时,在上恒成立,综合①②知,当时,函数为增函数.故实数的取值范围是考点:函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中,和切线有关的题目非常多,我们只要把握住关键点:一个是切点,一个是斜率,切点即在原来函数图象上,也在切线上;斜率就是导数的值.根据这两点,列方程组,就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略,先求得的表达式,然后再求得的表达式,我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.19、(1)见解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用导数求x<0时,f(x)的极大值为,即证(2)等价于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函数g(x)的最小值得解.【详解】(1)∵函数f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)内递增,在(﹣,0)内递减,在(0,+∞)内递增,∴f(x)的极大值为,∴当x<0时,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,则g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且x→0+时,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴实数k的取值范围是(﹣∞,0].【点睛】本题主要考查利用证明不等式,考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)首先根据题中条件求出椭圆方程,设、、点坐标,根据利用坐标表示出即可得证;(2)设直线方程,再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出,即可求出范围.【详解】(1)依题有,所以椭圆方程为.设,,,由为的重心,;又因为,,,,(2)当的斜率不存在时:,,,代入椭圆得,,,当的斜率存在时:设直线为,这里,由,,根据韦达定理有,,,故,代入椭圆方程有,又因为,综上,的范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解,三
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