2025届广东深圳市红岭中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届广东深圳市红岭中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为()A．2 B． C． D．2．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（）A． B． C． D．3．已知函数的一条切线为，则的最小值为（）A． B． C． D．4．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是A． B． C． D．5．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势6．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是17．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．8．已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）A． B．0 C．1 D．10．已知为虚数单位，若复数，，则A． B．C． D．11．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A． B． C． D．12．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.14．在的展开式中，的系数为________．15．已知单位向量的夹角为,则=_________.16．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．19．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．22．（10分）如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证：为直角三角形；(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.2、B【解析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，所以由图可得取自的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.3、A【解析】

求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.【详解】，则，取，，故，.故，故，.设，，取，解得.故函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4、B【解析】

初始：，，第一次循环：，，继续循环；第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．5、D【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.【详解】A正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.6、A【解析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.7、A【解析】

求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.8、D【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、A【解析】

先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.【详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，因为，故，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.10、B【解析】

由可得，所以，故选B．11、B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．12、D【解析】

求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、161【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为，，解得，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14、【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.15、【解析】

因为单位向量的夹角为，所以，所以==.16、2【解析】

直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】，，解得，，故.故答案为：2；.【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.【详解】（1）设，，所以函数在上单调递增，又因为和，则，所以得解得，即，故的取值范围为；（2）由于恒成立，恒成立，设，则，令，则，所以在区间上单调递增，所以，根据条件，只要，所以.【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19、（1）（2）【解析】

（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；【详解】解：（1）∵，∴解得，∴椭圆的方程为.（2）∵，∴可设，∴.∵，∴，∴设直线的方程为，∴，∴，显然恒成立.设，，则，，∴.∴，∴，∴解得，解得，∴，，∴.∵此时直线的方程为，，∴点到直线的距离为，∴，即此时四边形的面积为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取的中点，连接，易得，进而可证明四边形为平行四边形，即，从而可证明平面；（2）取中点，中点，连接，易证平面，平面，从而可知两两垂直，以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面的法向量，及平面的法向量为，由，可求得平面与平面所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取的中点，连接.，，，，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）如图2，取中点，中点，连接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，两两垂直.以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.则，，设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，得.因为，，，所以，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.21、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t