北师 七年级 数学 上册 第5章 一元一次方程《一元一次方程的应用》教学课件

5.3一元一次方程的应用第五章一元一次方程逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等积变形问题等长变形问题“盈不足”问题行程问题知1－讲感悟新知知识点等积变形问题11.等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变

.等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积=变化后图形的面积或物体的体积.感悟新知2.易错警示等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径.知1－讲感悟新知知1－讲知识链接常见立体图形的体积公式：1.V正方体=a3(a为棱长)；2.V长方体=abh(a，b分别为底面的长、宽，h为高)；3.V圆柱=πR2h(

R为底面半径，h为高)

.知1－练感悟新知用直径为4cm的圆柱形钢材铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢材？例1知1－练感悟新知

解题秘方：紧扣题目中铸造前后的体积相等这一等量关系，列出方程解决问题.知1－练感悟新知1-1.有一圆柱合金，底面半径为10 cm，高为64 cm.若将其锻造成长方体工件，使长方体的长为20πcm，高为32 cm，则长方体的宽为多少？解：设长方体的宽为xcm.根据题意，得20π×32·x＝102×π×64，解得x＝10.所以长方体的宽为10cm.知1－练感悟新知将装满水的底面直径为40cm，高为60cm的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50cm的圆柱形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？例2

知1－练感悟新知

解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量关系列方程求解.知1－练感悟新知解题通法：水放在不同的容器中，只是水的“形状”发生了变化，但是水的体积不变.一定量的水注入某容器中，水的体积=容器的底面积×水面高度.知1－练感悟新知2-1.用一个底面大小为20 cm×20 cm的长方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是8 cm，5 cm和10 cm的长方体铁盒内倒水.当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了______

cm.(长方体容器和长方体铁盒的壁厚忽略不计)1感悟新知知2－讲知识点等长变形问题21.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变化前后物体的周长不变

.2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关键是根据周长这一不变量列方程求解.知2－讲感悟新知特别解读“等长变形”关键是“等长”，即“形变”但“长不变”.感悟新知知2－练用一根长为12m的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多2m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少平方米？(2)使得该长方形的长比宽多1.6m，此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？此时正方形的面积与(2)中的长方形面积相比又有什么变化？例3知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“等长”，即铁丝的长和长方形(正方形)的周长相等，列方程解决问题.知2－练感悟新知解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为(

x+2)

m.根据题意，得2(

x+x+2)

=12，解得x=2.此时长方形的长为2+2=4(

m)，宽为2m，面积为2×4=8(

m2)

.(1)使得该长方形的长比宽多2m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少平方米？知2－练感悟新知解：设此时长方形的宽为ym，则它的长为(y+1.6)

m.根据题意，得2(

y+y+1.6)

=12，解得y=2.2.此时长方形的长为2.2+1.6=3.8(

m)，宽为2.2m，面积为3.8×2.2=8.36(m2)

.此时长方形的面积比(1)中的长方形的面积增大了8.36－8=0.36(m2)

.(2)使得该长方形的长比宽多1.6m，此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？知2－练感悟新知解：设正方形的边长为zm.根据题意，得4z=12，解得z=3.此时正方形的边长为3m，面积为3×3=9(

m2)

.此时正方形的面积比(2)中的长方形面积增大了9－8.36=0.64(

m2)

.(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？此时正方形的面积与(2)中的长方形面积相比又有什么变化？知2－练感悟新知3-1.用一根铁丝可围成边长为9 cm的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2 cm的长方形，则长方形的面积是多少？解：设长方形的宽为xcm，则它的长为(x＋2)cm.依题意得2x＋2(x＋2)＝9×4，解得x＝8.则x＋2＝10.所以长方形的面积为10×8＝80(cm2)．知2－练感悟新知3-2.用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆.已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2)

m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大.知2－练感悟新知解：设圆的半径为r

m，则正方形的边长为[r+2(π－2)]m.根据题意，得2πr＝4[r+2(π－2)]，解得r＝4.所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．所以圆的面积为π×42＝16π(m2)，正方形的面积为[4+2(π－2)]2＝4π2(m2)．因为4π·4＞4π·π，所以16π＞4π2.所以圆的面积大．因此，这两根等长的铁丝的长为8π

m，圆的面积较大．感悟新知知3－讲知识点“盈不足”问题3盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题.这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数.感悟新知知3－讲盈不足问题的基本运算公式为

(盈+亏)÷(两次分得之差)=人数.每人所得数×人数-亏=物数.知3－讲感悟新知解题通法先求两次分配中各次共分物品的数量差，再求两次分配中分配者每份所得物品数量的差.用前一个差除以后一个差，就得到分配者的人数，进而求得物品数.此外，利用方程的思想来解决这类问题也更加直观和普遍.知3－练感悟新知[母题教材P149例2]我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿.若每人拿6竿，则多14竿；若每人拿8竿，则恰好拿完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数.例4

知3－练感悟新知解题秘方：本题考查了一元一次方程的应用，可借助表格找出等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.设这个问题中的牧童人数为x，列表如下：有关量每人拿6竿每人拿8竿拿竿数/竿6x

8x总竿数/竿6x+148x

知3－练感悟新知解：设这个问题中的牧童人数为x，根据题意，得6x+14=8x，解得x=7.因此，这个问题中的牧童人数为7.

知3－练感悟新知4-1.

[一模·德州]某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计算，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，则两件上衣的进价之和为(

)A.230元B.240元C.250元D.260元C感悟新知知4－讲知识点行程问题41.相遇问题相遇问题沿直线运动沿圆周运动图示甲、乙由同一地点相背而行等量关系路程s

甲+s

乙=s总

s

甲+s

乙=圆周长时间若同时出发，则t

甲=t乙

感悟新知知4－讲2.追及问题追及问题沿直线运动沿圆周运动(同时同地)同地不同时同时不同地图示

感悟新知知4－讲续表等量关系路程慢者先行的路程+慢者被追及的路程=快者追及的路程快、慢两者间的距离+慢者所行的路程=快者所行的路程快者走的路程－慢者走的路程=圆周长(首次追上)时间快者所用的时间=慢者所用的时间－

慢者先行的时间快者所用的时间=慢者所用的时间快者所用的时间=慢者所用的时间

感悟新知知4－讲3.航行问题航行问题顺水航行逆水航行图示速度关系v

顺水

=v

静水+v

水

v

逆水

=v

静水－v

水

知4－讲感悟新知特别解读1.行程问题中常用的三个量之间的关系为路程=速度×时间.2.航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，则路程不变.知4－讲感悟新知方法点拨追及问题中等量关系的寻找方法：(1)从时间考虑:若同时出发，追及时两人所用的时间相等.(2)从路程考虑:①沿直线运动，两人所走路程之差等于需要赶上的距离；②沿圆周运动，两人所行路程之差等于圆周长(从同一地点出发，且首次追上).(3)从速度考虑:两人的相对速度等于他们的速度之差.感悟新知知4－练A，B两地相距280m，甲、乙两人同时出发相向而行.甲从A地每秒跑8m，乙从B地每秒跑6m，那么多少秒后甲、乙两人相遇？例5知4－练感悟新知解题秘方：此题属于相遇问题，等量关系是甲所用时间=乙所用时间，甲跑过的路程+乙跑过的路程=A，B两地之间的距离.解：设xs后甲、乙两人相遇.根据题意，得8x+6x=280，解得x=20.所以20s后甲、乙两人相遇.知4－练感悟新知5-1.甲、乙两车站相距450 km，一辆慢车从甲站开出，平均速度为65 km/h；一辆快车从乙站开出，平均速度为 85 km/h.(1)两车同时开出，相向而行,那么两车行驶多长时间后相遇？解：设两车行驶xh后相遇．根据题意，得65x＋85x＝450，解得x＝3.所以两车行驶3h后相遇．知4－练感悟新知(2)快车先开30 min，两车相向而行，慢车行驶多长时间后两车相遇？感悟新知知4－练小明、小杰两人在400m的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300m，小杰每分钟跑220m.(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，则出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100m处.①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰在赛道上第一次相距20m？例6

知4－练感悟新知解题秘方：可将环形中的相遇问题转化为直线中的相遇问题解答.

(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，则出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？知4－练感悟新知

(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100m处.①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？知4－练感悟新知解：设出发zmin后，小明、小杰在赛道上第一次相距20m.依题意，得300z－220z+20=100，解得z=1.因此，出发1min后，小明、小杰在赛道上第一次相距20m.②出发几分钟后，小明、小杰在赛道上第一次相距20m？知4－练感悟新知6-1.甲、乙两人沿运动场中一条周长为400 m的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙的速度的1.5倍，他们从同一地点，朝同一方向同时出发，8 min后甲第一次追上乙.(1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少.知4－练感悟新知解：设乙的速度为xm/min，则甲的速度为1.5xm/min.根据题意，得8×(1.5x－x)＝400，解得x＝100，所以1.5x＝150.因此，乙的速度为100m/min，甲的速度为150m/min.知4－练感悟新知(2)若甲、乙两人从同一地点，同时背向而行，经过多长时间两人恰好第五次相遇?解：设经过tmin两人恰好第五次相遇．根据题意，得(150＋100)t＝400×5，解得t＝8.因此，经过8min两人恰好第五次相遇．感悟新知知4－练李成在王亮的前方10m处，李成每秒跑7m，王亮每秒跑7.5m，两人同时同向起跑，请问王亮跑多少米可以追上李成？例7知4－练感悟新知解题秘方：此题是追及问题，属于“同时不同地”的类型，可根据“王亮跑的路程-李成跑的路程=10m”列方程求解.解：设x