2024-2025学年高中数学第二章数列2.2第1课时等差数列的概念和通项公式课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE等差数列的概念和通项公式[A组学业达标]1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是()A．b－a B.eq\f(b－a,2)C.eq\f(b－a,3) D.eq\f(b－a,4)解析：由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq\f(b－a,3).答案：C2．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15B．22C．7D．29解析：设{an}的首项为a1，公差为d，依据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.答案：A3．等差数列{an}满意a1＝39，a1＋a3＝74，则通项公式an＝()A．－2n＋41 B．－2n＋39C．－n2＋40n D．－n2－40n解析：因为等差数列{an}满意a1＝39，a1＋a3＝74，所以39＋39＋2d＝74，解得d＝－2.所以通项公式an＝39＋(n－1)×(－2)＝－2n＋41.答案：A4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则2a9－aA．6 B．8C．12 D．13解析：在等差数列{an}中，因为a1＋3a8＋a15＝60，所以a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5(a1＋7d)＝60，所以a1＋7d＝12，2a9－a10＝2(a1＋8d)－(a1＋9d)＝a1＋7d答案：C5．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cosB＝________.解析：∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．在等差数列{an}中，a1＝3，d＝2，an＝25，则n＝________.解析：an＝25＝3＋2(n－1)，解得n＝12.答案：127．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a9＝12，则a3＋a7＝________.解析：在等差数列{an}中，a2＋a4＋a9＝12，所以a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝12，解得a5＝4，则a3＋a7＝2a5＝8.答案：88．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，解得85.5≤n≤123.又因为n为正整数，所以共有38项．9．已知a，b，c成等差数列，试推断a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列．证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴b2(c＋a)＝2b3.而a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)＝b[(a＋c)2－2ac]＋2abc＝b(a＋c)2＝4b3，故2b2(c＋a)＝a2(b＋c)＋c2(a＋b)，∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．[B组实力提升]10．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))所以a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x.所以eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).答案：C11．设集合A1＝{a1}，A2＝{a2，a3}，A3＝{a4，a5，a6}，A4＝{a7，a8，a9，a10}，…，其中{an}为公差大于0的等差数列，若A2＝{3,5}，则199属于()A．A12 B．A13C．A14 D．A15解析：因为{an}为公差大于0的等差数列，A2＝{a2，a3}＝{3,5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝3，,a3＝a1＋2d＝5，))解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，由an＝2n－1＝199，解得n＝100，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝91，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝105，所以199∈A14.答案：C12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq\f(1,4)的等差数列，则m＋n的值为________．解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0,1－4n＞0)．设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2.由题意知x1＝eq\f(1,4).∴x2＝eq\f(3,4)，数列的公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq\f(1,6)，∴数列的中间两项分别为eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(5,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,12).∴m＝x1x2＝eq\f(3,16)，n＝x3x4＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).∴m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).答案：eq\f(31,72)13．下表是一个有i行j列的表格．已知每行、每列都成等差数列，47a1,3…a1，j712a2,3…a2，ja3,1a3,2a3,3…a3，j……………ai,1ai,2ai,3…ai，j其中ai，j表示表格中第i行第j列的数，则a4,5＝________，ai，j＝________.解析：依据表格中每行、每列都是等差数列，该表格的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1，j＝4＋3(j－1)，其次行是首项为7，公差为5的等差数列：a2，j＝7＋5(j－1)，第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此ai，j＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.可得a4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.答案：492ij＋i＋j14．已知数列{an}满意a1＝eq\f(1,5)，且当n＞1，n∈N*时，有an－1－an－4an－1an＝0.(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列；(2)试问a1a2是否是数列{an解析：(1)证明：很明显，数列中的各项均不为0，当n≥2时，an－1－an－4an－1an＝0，两边同除以an－1an，得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4，即eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4对n＞1，n∈N*成立，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝5为首项，4为公差的等差数列．(2)由(1)得eq\f(1,a