2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．以上均可能解析：这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面．答案：D2.如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G、H，则HG与ABA．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，∴AB∥平面EFGH，又AB平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的A．1条B．2条C．3条D．多数条解析：如图，过M作MQ∥AA1交AB于Q，过Q作QH∥AC，交BC于点H，过点H作NH∥BB1，交B1C于点N.因为BB1∥AA1，所以NH∥MQ，则平面MQHN∥平面ACC1A1，则MN∥平面ACC1A1.因为M为线段A1B上的动点，所以这样的MN有多数条，故选D.答案：D4.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(4,25).5．若直线l不存在与平面α内多数条直线都相交的可能，则直线l与平面α的关系为________．解析：若直线l与平面α相交或在平面α内，则在平面α内肯定存在多数条直线与直线l相交，故要使l不行能与平面α内多数条直线都相交，只有l∥α.答案：l∥α6.空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝4，E是AB的中点，过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H，则四边形EFGH的周长为________．解析：易知EFGH为平行四边形，且F、G、H分别为BC、CD、AD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝2，同理FG＝GH＝EH＝2，∴四边形EFGH的周长为8.答案：87.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.解析：∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2,3)a.故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a8.如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝________.解析：连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4.求证：CE∥平面PAB.证明：取AD的中点O，连接OC，OE(图略)．∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥PA，∴OE∥平面PAB.∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCO为平行四边形，∴OC∥AB，∴OC∥平面PAB.∵OC∩OE＝O，∴平面OCE∥平面PAB.∵CE平面OCE，∴CE∥平面PAB.10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD求证：PQ∥平面DCC1D1.证明：证法一连接AC、CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又P平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.证法二取AD中点G，连接PG、GQ.则有PG∥D1D.又PG平面DCC1D1，D1D平面DCC1D1，∴PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1.又PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.[B组实力提升]1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，则四边形EFGHA．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．梯形解析：由于正方体中平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又截面EFGH与平面ABB1A1、平面DCC1D1分别相交于GF，EH，由面面平行的性质定理知GF∥EH；同理可得EF∥GH，故四边形EFGH肯定是平行四边形，选A.答案：A2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合)，使得BD1∥平面B1CEA．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1 D．D1E＝EC1解析：连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接OE，如图，BD1∥平面B1CE，平面BC1D1∩平面B1CE＝OE，∴BD1∥OE，∵O为BC1的中点，∴E为C1D1的中点，∴D正确，C错误；由异面直线的定义，知BD1，CE是异面直线，故A错误；连接AD1，在矩形ABC1D1中，AC1与BD1不垂直，故B错误．故选D.答案：D3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．解析：当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相像可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝eq\f(24,5).答案：24或eq\f(24,5)4．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，EF∥平面ABCD，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，M为BC的中点，求证：FM∥平面BDE.证明：取CD的中点N，连接MN，FN(图略)．因为N，M分别为CD，BC的中点，所以MN∥BD.又BD平面BDE，且MN平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，所以EF∥AB.又AB＝CD＝2DN＝2EF＝2，AB∥CD，所以EF∥DN，EF＝DN，所以四边形EFND为平行四边形，所以FN∥ED.又ED平面BDE，且FN平面BDE，所以FN∥平面BDE.又FN∩MN＝N，所以平面MFN∥平面BDE.又FM平面MFN，所以FM∥平面BDE.5．四棱锥P­ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝eq\f(2,3)CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．解析：在PC上取点E，使eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，则BE∥平面PAD.证明如下：如图，延长DA和CB交于点F，连接PF.梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,BF)＝eq\f(1,2).又eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，∴△PFC中，eq\f(CE,PE)＝eq\f(BC,BF)，∴BE∥PF，而BE平面PAD，PF平面PAD.∴BE∥平面PAD.6.如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．解析：相交直线AA′、BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，由面面平行的性质定理可得，AB∥A′B′.同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.∴