2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练三十二基本不等式课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练三十二基本不等式一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x>0,则y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.-1 D.3-2QUOTE【解析】选D.因为x>0,所以3x+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当x=QUOTE时取等号,-QUOTE≤-2QUOTE,则y=3-3x-QUOTE≤3-2QUOTE.2.已知实数x,y满意x+2y=4,则3x+9y ()A.有最大值6 B.有最小值6C.有最大值18 D.有最小值18【解析】选D.x+2y=4,由基本不等式得3x+9y≥2QUOTE=2QUOTE=18,当且仅当x=2,y=1时取等号.3.(2024·玉溪模拟)若x>0,y>0,且x+y=S,xy=P,则下列说法中正确的是()A.当且仅当x=y时S有最小值2QUOTEB.当且仅当x=y时P有最大值QUOTEC.当且仅当P为定值时S有最小值2QUOTED.若S为定值,当且仅当x=y时P有最大值QUOTE【解析】选D.因为x,y∈R+,x+y=S,xy=P,所以S=x+y≥2QUOTE=2QUOTE①,当且仅当x=y时取等号;所以假如P是定值,那么当且仅当x=y时S的值最小,故A,C错误;由①得,P≤QUOTE=QUOTE,当且仅当x=y时取等号;所以假如S是定值,那么当且仅当x=y时P有最大值,故D正确,B错误.4.已知实数x,y满意x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.原式可化为(x+y)2=1+3xy≤1+QUOTE,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=1时取最大值.5.(一题多解)若正数a,b满意QUOTE+QUOTE=1,则QUOTE+QUOTE的最小值为 ()A.4 B.6 C.9 D.16【解析】选A.方法一:由QUOTE+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE.由a,b为正数且QUOTE+QUOTE=1,可得a>1,b>1.所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当b-1=QUOTE,即b=3,a=QUOTE时等号成立.方法二:由QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=3时等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·大理模拟)若实数x,y满意x>y>0,且log2x+log2y=2,则QUOTE+QUOTE的最小值为________;QUOTE的最大值为________.

【解析】因为log2x+log2y=2,所以xy=4.实数x,y满意x>y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE(当且仅当x=2QUOTE,y=QUOTE时等式成立).QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE(当且仅当x=2QUOTE+2,y=2QUOTE-2时等式成立).答案:QUOTEQUOTE7.设x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,则实数a的最大值为________.

【解析】由于(x+y)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4,当且仅当x=y=1时等号成立,而x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,故a≤4,也即a的最大值为4.答案:48.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.

【解析】每次都购买x吨,则须要购买QUOTE次.因为运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为4×QUOTE+4x万元.因为4×QUOTE+4x≥160,当且仅当4x=QUOTE时取等号,所以x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:20三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)已知x>0,求f(x)=QUOTE+3x的最小值;(2)已知x<3,求f(x)=QUOTE+x的最大值.【解析】(1)因为x>0,所以f(x)=QUOTE+3x≥2QUOTE=12,当且仅当QUOTE=3x⇒x=2时取等号,所以f(x)的最小值为12.(2)因为x<3⇒3-x>0,f(x)=QUOTE+x-3+3=-QUOTE+3≤-2QUOTE+3=-1,当且仅当QUOTE=3-x⇒x=1时取等号,所以f(x)的最大值为-1.10.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内某马路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系式为y=QUOTE(v>0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量是多少(精确到0.1千辆/时)?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应当在什么范围内?【解析】(1)依题意y=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当v=40等号成立,最大车流量y=QUOTE≈11.1(千辆/时).(2)由条件得QUOTE>10,整理得v2-89v+1600<0,解得25<v<64.故汽车的平均速度应当在QUOTE范围内.1.(5分)若正数x,y满意x+4y-xy=0,则QUOTE的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选A.因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy得,QUOTE+QUOTE=1.求QUOTE的最大值,即求QUOTE=QUOTE+QUOTE的最小值,所以QUOTE×1=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE+QUOTE=3,当且仅当QUOTE=QUOTE时取等号,所以QUOTE的最大值为QUOTE.2.(5分)已知a,b均为正数,函数f(x)=alog2x+b的图象过点(4,1),则QUOTE的最小值为 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选D.因为f(x)=alog2x+b的图象过点(4,1),所以alog24+b=1,即2a+b=1,又a,b均为正数,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+1+4+QUOTE≥5+2QUOTE=9,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时,等号成立.3.(5分)如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运 ()A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【解析】选C.可设y=a(x-6)2+11,又曲线过(4,7),所以7=a(4-6)2+11,所以a=-1.即y=-x2+12x-25,所以QUOTE=12-QUOTE≤12-2QUOTE=2,当且仅当x=5时取等号.4.(5分)(2024·乐山模拟)已知正数x,y满意x+y=1,且QUOTE+QUOTE≥m,则m的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】选B.依据题意,正数x,y满意x+y=1,则QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=(y+1)+QUOTE-4+(x+1)+QUOTE-4=QUOTE-5,又由QUOTE+QUOTE=QUOTE[(x+1)+(y+1)]=QUOTE≥QUOTE,当且仅当x=y=QUOTE时等号成立,则QUOTE+QUOTE=QUOTE-5≥QUOTE-5=QUOTE,即QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE,若QUOTE+QUOTE≥m,则m的最大值为QUOTE.5.(10分)若两个正实数x,y满意QUOTE+QUOTE=1,且存在这样的x,y使不等式x+QUOTE<m2+3m有解,求实数m的取值范围.【解析】因为不等式x+QUOTE<m2+3m有解,所以QUOTE<m2+3m.因为x>0,y>0,且QUOTE+QUOTE=1,所以x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=2,y=8时取“=”,所以QUOTE=4,故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,所以实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).6.(10分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1km.某炮位于坐标原点.已知炮弹放射后的轨迹在方程y=kx-QUOTE(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与放射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?【解析】(1)令y=0,得kx-QUOTE(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10km.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标等价于存在k>0,使3.2=ka-QUOTE(1+k2)a2成立,即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得a≤6,所以0<a≤6.所以当a不超过6km时,炮弹可击中目标.1.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画,现保藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为:纵77cm,横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面欣赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm),设该游客离墙距离为xA.77 B.80 C.100 D.77QUOTE【解析】选D.如图所示,设∠BCD=α,则tanα=QUOTE=QUOTE.tan(θ+α)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得tanθ=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当x=QUOTE,即x=77QUOTE时取等号.故选D.2.在△ABC中,设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinB=QUOTE,则QUOTE+QUOTE的最小值为________.

【解析】由正弦定理可得b=QUOTE,cosB=QU