2024-2025学年高中数学第三章推理与证明3.1.2类比推理学案含解析北师大版选修1-2

PAGE1．2类比推理授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]一、类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，依据一类对象的其他特征，推断________________________，我们把这种推理过程称为类比推理，类比推理是________之间的推理．利用类比推理得出的结论________．二、合情推理的含义________和________是最常见的合情推理，合情推理是依据试验和实践的结果、个人的阅历和直觉，已有的事实和正确的结论，如______、________、________等，推想出某些结果的推理方式．三、类比推理的特点1．类比是从人们已经驾驭了的事物的属性，推想正在探讨中的事物的属性，它以旧有相识作基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特别属性推想另一种事物的特别属性；3．类比的结果是揣测性的，不肯定牢靠，但它却具有发觉的功能．[双基自测]1．下面运用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”2．假如对象A和对象B都具有相同的属性P、Q、R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立？()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()A．正方体 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台[自主梳理]一、另一类对象也具有类似的其他特征两类事物特征不肯定正确二、归纳推理类比推理定义公理定理[双基自测]1．C由实数运算积的学问易得C为正确的．2．D各自另外的属性S只能类比x.3．B由平面几何与立体几何的类比可知，立体几何中的三棱锥是三角形的类比对象．故选B.授课提示：对应学生用书第18页探究一数列中的类比推理[例1]设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．[解析]等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．[答案]eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)等差数列与等比数列之间多有类比，如通项公式an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，“和”对应“积”，因而“减法”对应“除法”．1．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式____________成立．解析：这是一个等差数列与等比数列类比的题目，由于两者的参照物不同，因此要先进行分析，从两者的本质即数列的结构找到突破口，如下表所示：特征等差数列等比数列运算符号和(差)积(商)通项anbn公差(比)dq前n项和SnTn特别项01等式结构左边n项，右边19－n项左边n项，右边17－n项符号转换加法乘法减法除法关键词a10＝0b9＝1由题设，若ak＝0，那么有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－1－n(n<2k－1，n，k∈N＋)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：若bk＝1，则有b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2k－1－n(n<2k－1，n，k∈N＋)成立．结合本题k＝9，得2k－1－n＝17－n，故本题应填：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N＋)．答案：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N＋)探究二圆锥曲线间的类比推理[例2]已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比上述性质，可以得到椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1类似的性质为________．[解析]圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1类似的性质为：过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.[答案]过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1运用类比推理，需留意比较两个对象的相像之处和不同之处，找到可以类比的两个量，然后加以推想．2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系O­xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示________．解析：因为三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0中不含常数项，所以它对应的图形肯定过原点．用类比的方法可知Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面探究三几何图形的类比[例3]找出圆与球的相像性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两条弦长相等；(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；(4)圆的面积S＝πr2.[解析]圆与球有下列相像的性质：(1)圆是平面上到肯定点的距离等于定长的全部点构成的集合；球面是空间中到肯定点的距离等于定长的全部点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推想球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C＝πd球的表面积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝eq\f(4,3)πr3几何图形的相关类比点：解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体平行六面体球3．如图(1)有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则图(2)有体积关系：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝________.解析：把平面中三角形的学问类比到空间三棱锥中，得eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)巧用类比实现学问迁移[典例](本题满分12分)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想并证明．[解析]如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得c2＝a2＋b2，3分类比直角三角形的勾股定理可知：如图(2)，在四面体P­ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则Seq\o\al(2,△ABC)＝Seq\o\al(2,△PAB)＋Seq\o\al(2,PBC)＋Seq\o\al(2,△PAC).6分证明过程如下：设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则S△PAB＝eq\f(1,2)ab，S△PAC＝eq\f(1,2)ac，S△PBC＝eq\f(1,2)bc，故ab＝2S△PAB，ac＝2S△PAC，bc＝2S△PBC，8分S△ABC＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)·eq\r(\f(b2c2,b2＋c2)＋a2)＝eq\f(1,2)eq\r(b2c2＋a2b2＋c2a2)＝eq\f(1,2)eq\r(4S\o\al(2,△PBC)＋4S\o\al(2,△PAB)＋4S\o\al(2,△PAC))＝eq\r(S\o\al(2,△PBC)＋S\o\al(2,△PAB)＋S\o\al(2,△PAC)).故Seq\o\al(2,△ABC)＝Seq\o\al(2,△PAB)＋Seq\o\al(2,△PBC)＋Seq\o\al(2,△PAC).12分[规范与