随机变量及其分布教案

第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求（1）理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质,理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；（2）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；本章的教学内容随机变量离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算本章教学内容的重点和难点随机变量的定义、分布函数及性质；离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；教学过程中应注意的问题注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解；构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系；构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系；连续型随机变量的分布函数关于处处连续，且，其中为任意实数，同时说明了不能推导。注意正态分布的标准化以及计算查表问题；思考题和习题思考题：1.函数是否是某个随机变量的分布函数？2.分布函数有两种定义——，主要的区别是什么？3.均匀分布与几何概率有何联系？4.讨论指数分布与泊松分布之间的关系。5．列举正态分布的应用。§2.1随机变量与分布函数一、随机变量的概念一般来说一个随机试验的结果可以分为两种类型。例2-1一次晚会组织抽奖，奖励以奖金形式发放。已知一等奖有一个名额，奖金额度500元；二等奖有三个名额，奖金额度100元；三等奖有5个名额，奖金额度50元；纪念奖10个名额，奖金额度10元。则此时抽奖活动可以看做是一个随机试验，作为获奖金额的样本点是以具体数值形式出现的。例2-2学校体育课有篮球、网球、羽毛球、排球和瑜伽五个项目供同学选择。选择方法是首选自主，若该项目名额已满则系统随机将未入选学生安排至另外报名未满的项目。某学生首选羽毛球，结果学员已满。此时第二次选择可以看做一次随机试验，所有可能的结果为篮球班、网球班、排球班和瑜伽班，此时样本点不再是以具体数值出现。例2-1中的样本点本身是以具体数量的形式出现的，称为数量型。我们很方便的可以将样本点对应到其具体的数值上，从而得到一个由样本空间到实数的函数，其中的即样本点的取值。例2-2中的样本点并不是以数量形式出现，我们称为非数量型。类似数量型当我们将篮球班、网球班、排球班和瑜伽班四个班分别以数字表示时，我们也得到了由样本空间到实数的一个函数.此时样本空间中的每一个样本点作为函数的自变量，对应到的具体数值即为函数的取值。由样本点的随机性这样的函数取值变化也具有随机性，是一个随机变化的变量，我们称之为随机变量。定义2-1设为随机试验的样本空间，若对中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，则称函数：，为定义在样本空间上的一个随机变量。一般用大写字母，，；或者希腊字母，，表示。的函数值称为随机变量的取值，记为，，等。例2-3小明去布吉岛探险，不幸落入食人族手中。食人族族长与小明约定由小明掷骰子决定他的生死。若点数为、（小），则小明成为食人族部落当晚的夜宵；若点数为、（大），则可以给小明自由；若点数为、（中），则将小明关押起来等第二天再投骰子决定。此时随机试验为小明掷骰子观测结果，样本空间为.若记为生，为死，为生死未卜。则可得一随机变量，，其中，，.随机变量的取值为，，.这里我们看到样本点和随机变量的取值虽然都是数字，但它们并不相等。例2-4一根树枝长度为两米，某人用一把刀随机地将树枝砍成两段。现在考虑较短的一段长度，则其样本空间为.这是一个数量型样本空间，我们将样本空间中每个样本点对应到它的数量就得到了一个随机变量，，其中.这里的样本点个数有不可列个，同样随机变量的取值也有不可列个。在第三节我们会详细讨论这样的随机变量。例2-5为调查某产品的市场推广情况，调查小组随机地在消费者中选取了名志愿者进行问卷调查。调查内容分为有关志愿者的个人情况如年龄、性别，是否使用过本产品，以及满意度等等。此时随机试验的样本空间为全部名志愿者。若记男性为，女性为则可得到一随机变量，.其中，当为男性，；当为女性，。若将每个样本点对应到志愿者的年龄则得到另一随机变量，.其中为志愿者的年龄；若将志愿者使用过该产品记为，未使用过记为.则得到第三个随机变量，，其中；若将志愿者对产品的满意程度对应到的每个实数，越大表示越满意，表示未使用过，则同样得到一个随机变量，，其中的所有可能取值为.由上面的例子可以看出，对应于同一个样本空间，进行不同的随机试验就得到了不同的随机变量，它们反映了同一个个体不同方面的属性。这也是利用随机变量研究随机现象的一个优势。类似集合表示的形式，对于具体的随机事件我们可以将第一章中有关事件及其关系运算的内容表示为随机变量取值的形式如：一般的随机事件可对应表示为：；单样本点概率可表示为：，其中；若记，则：事件概率可表示为：；积事件概率可表示为：；和事件概率为：；条件概率可表示为：.类似地，读者可以自己将第一章中概率的性质及条件概率的三大公式表示为随机变量形式。二、随机变量的分布函数随机变量只能反映样本点和其取值之间的对应关系，并不能反映随机事件的概率性质，因此我们还需要利用函数工具给出随机变量和其概率性质之间的关系。我们称反映这样对应关系的函数为随机变量的概率分布函数。注意，分布函数是反映随机变量不同取值对应的概率性质，因此其自变量是随机变量取值，而因变量则是对应的某个随机事件的概率值。因此，我们定义分布函数如下：定义2-2设为随机变量，对任意的，称函数，为随机变量的分布函数，记为.如图所示，分布函数表示随机变量取值不超过的概率。图2-1分布函数的意义由分布函数的定义不难得到分布函数具有下列性质：性质若为随机变量的分布函数，则（1）有界性：，；（2）单调不减性：；（3），；（4）右连续性：，.证明略。分布函数一定满足以上四条性质。反之，可以证明满足以上四条性质的函数，可以看做某个随机变量的分布函数。利用分布函数我们很容易求出随机事件的概率。一般地有：（1）；（2）；（3）；例2-6随机变量的分布函数为，求以下事件概率：，，，.解，，，.例2-7随机变量的分布函数为，求常数，.解由分布函数的性质有，，，故：，.例2-8是否可以作为某个随机变量的分布函数？（1）；（2），其他场合适当定义；（3），其他场合适当定义。解（1）当时，由于，但因此不可以作为某个随机变量的分布函数；（2）当时，，，故只需定义，容易验证满足分布函数的四条基本性质，因此可以作为某个随机变量的分布函数。（3）当时，，因此不能作为某个随机变量的分布函数。注意我们现在涉及到与随机试验有关的两个函数：随机变量和随机变量的分布函数，它们之间有联系也有区别。随机变量是由样本点对应到其取值——用一个数字反映观测对象的某方面属性的，其自变量是样本点而函数值是实数；而分布函数则反映随机变量取值的概率分布情况的，其自变量是随机变量的取值而函数值是样本点对应的概率，因此取值范围只能是.随机变量取值为时所对应的样本点与分布函数在点所对应的样本点是一致的。对于一些特殊的随机变量，除了分布函数可以完整描述其概率分布外，还可以采用其他的工具来处理。随机变量按照处理工具不同可分为：离散型——取值有限或者至多可列如例2-3.这类随机变量可以采用用列表法将其取值概率一一列举；连续型——取值不可数但事件概率可看作是某个函数积分如例2-4，这类随机变量可以采用解析法求积分处理；除了这两类以外称为奇异型随机变量，这类随机变量在实际中出现相对较少，只能采用分布函数法处理。在后续章节中我们主要讨论离散型和连续型两类随机变量。§2.2离散型随机变量一、离散型随机变量的概率分布定义2-3取值有限或可列的随机变量称为离散型随机变量。因为离散型随机变量的取值为有限或可列，因此我们可以将其取值一一列举出来，而把对应的概率列举在取值下方而形成列表的形式。我们称这样的列表为离散型随机变量的分布列。将列表表示为函数的形式称为离散型随机变量的概率分布。定义2-4设为离散型随机变量，其取值为，，则称为的概率分布；而称为的分布列。例2-9小红帽带糕点去奶奶家。行至岔路口有三条支路，已知其中只有一条通往奶奶家。若将小红帽可以到达奶奶家记为，不可到达记为，则可得取值为、的随机变量，其分布列为：例2-10设某大型网络游戏中一件极品装备在某副本中爆出的几率为，有游戏玩家为获得该装备决定去刷能爆出该装备的游戏副本。若用表示该游戏玩家在刷出装备前进入游戏副本的次数，则显然的可能取值为，，，，......，，......；概率分布为：，.离散型随机变量的分布列具有以下性质：性质（1）；（2），.离散型随机变量的概率分布一定满足以上两个性质，反之，满足以上两条性质的数列，一定可以作为某离散型随机变量的概率分布。例2-11离散型随机变量的概率分布如下：（1），；（2），.求未知量.解注意到（1）中取值为有限个，而（2）中为可列个。由离散型随机变量分布列性质：（1），故.（2），故.由离散型随机变量的概率分布很容易可以得到一般随机事件概率的计算公式，事实上.例2-12离散型随机变量的概率分布如例2.2.3（1），求，，，，，.解由于的概率分布为：，，故，，，，，.例2-13袋内有个黑球，个白球，每次抽取一个，不放回，直到取得黑球为止。记为取到白球的数目，求随机变量的概率分布。若记为抽取的次数，则随机变量的概率分布又如何？解为取到白球的数目，故其取值为：，，，.对应概率：，，，，故的分布列为：为抽取的次数，则的可能取值为：，，，.而，，，，故的分布列为：离散型随机变量概率分布图像如下，形如一列竖立着的火柴棒。图2-2离散型随机变量概率分布二、离散型随机变量的分布函数对离散型随机变量来说，我们已经有分布函数和概率分布两个工具来全面描述其概率特征。那么这两者之间有什么样的关系呢？由分布函数的定义，立即可以得到离散型随机变量的分布函数为:而由分布函数的右连续性又可以得到，因此随机变量的概率分布为.例2-14已知随机变量的分布列为求的分布函数。解的取值为，，.当时，；当时，；当时，；当时，；故的分布函数为：，函数图像为：由上例可以看出离散型随机变量的分布函数的图像为阶梯形的分段函数，在每个取值点分段，每段均为一条水平线段；其高度差或者说跳跃的幅度为左端点取值的概率大小；由分布函数的右连续性，空心圆始终出现在线段的右端点；最左端与轴重合，最右端与直线重合。例2-15设为某随机变量的分布函数，试做出分布函数的图像，并求的分布列。解的分布函数图像为：分布函数分段点为随机变量的取值，故的取值为：、、；分布函数每段的跳跃幅度即为分段点对应取值的概率，故、、；因此，的分布列为：三、常用离散型随机变量的分布下面我们介绍几种常用的离散型随机变量的分布，请读者注意它们的实际应用背景或者对应的实际概率模型。1.退化分布定义2-5如果随机变量的概率分布为:，则称该随机变量服从退化分布。其布分布函数为.若服从退化分布，只去常数，此时可以说的取值并不随机，但我们宁可把它看作随机变量的极端或退化情况，因此成为退化分布。2.分布例2-16期货交易是在指定时间发生（实际交割）前以当前价格买入或卖出某类货物的金融投资行为。当某投资者认为该货物在指定交割时间价格要高于当前价格则会考虑此时买入，从而等到指定交割时间到来时卖出以获得收益。称为做多。反之若投资者认为该货物在指定交割时间价格要低于当前价格则会考虑将手中的货物按照当前价格抛出，在实际交割时间时赚取利润。称为做空。设某投资者判断正确则可获利元，错误则损失元。则可得一随机变量取值为和。因其取值只有两个，我们称之为两点分布。定义2-6如果随机变量的概率分布为:，则称该随机变量服从参数为的两点分布，不妨设，则其分布函数为：.特别地，如果和，即的概率分布可表示为，则称随机变量服从参数为的分布。其分布函数为.第一章中我们介绍了贝努利试验，若记试验成功为、失败为则一次贝努利试验所对应的随机变量即为分布。。3.个点上的均匀分布第一章中我们还介绍了古典概型，其样本点有限且等概率。表示成随机变量即可得到：定义2-7如果随机变量的概率分布为:，，则称该随机变量服从个点，，……，上的均匀分布。之所以称其为个点上的均匀分布，是因为随后在连续型随机变量中我们会遇到均匀分布。那时候我们会发现个点上的均匀分布实际上是对连续均匀分布的离散化。4.二项分布在重贝努利试验中考虑事件发生的次数，则的所有可能取值为，，……，，由第一章定理1-3，试验恰好成功次的概率为.定义2-8如果随机变量的概率分布为：，；则称该随机变量服从参数为，的二项分布，记为，并将第项概率分布值记为.其分布列为由二项定理不难验证，定义2.2.6给出的概率分布满足性质2.2.1，请读者自己验证。例2-17试判定下列哪些是二项分布，并确定参数。（1）（2）（3）解（1）不是，取值不是从开始。（2）是，根据定义服从.（3）是，因为，故服从.由上面例子可以看出，参数和在二项分布中地位是对等的，且组合系数，于是我们有如下定理：定理2-1若，记，则.定理的意义如下表示。证明较简单，留给读者自己练习。例2-18对某种药物的疗效进行研究，假设这种药物对某种疾病的治愈率，现对名患者进行试验，求患者同时服药后至少有人治愈的概率。解设名患者中治愈的人数为随机变量，则，于是有由于参数较大，故可以考虑利用定理2.2.1转化为处理。，.例2-19某大学的校网球队与该校某系网球队举行对抗赛。一般地，校队实力略高于系队，每个校队队员获胜概率为.现双方商讨对抗赛的比赛方式，提出以下三种备选方案：（1）双方各出人；（2）双方各出人；（1）双方各出人。胜出人数多的一方获最终胜利。问系队如何选择较为有利？解设系队获胜队员人数为，系队队员获胜概率为，一般可认为队员间的比赛相互独立，则服从二项分布。分别计算三种方案的获胜概率：（1）；（1）；（1）；由此可知，第一种方案对系队最为有利。这也比较容易理解，因为参赛的队员人数越少，偶然性越大，系队侥幸获胜的概率也就越大。显然双方若都只出一人比赛则系队获胜概率达到最大为.5.几何分布在贝努利试验序列中，考虑事件第一次发生时的试验次数，则的可能取值为，，…，，…，取值为的概率为，我们称这样的离散型随机变量服从几何分布。定义2-9设随机变量的概率分布为：，，则称该随机变量服从参数为的几何分布。记为.由于，且，故几何分布概率分布满足离散型随机变量概率分布的两条性质。例2-20血库急需RH阴性血液，需从献血者中获得，依据经验，RH阴性血液出现概率为，今对献血者进行化验，用表示在第一次找到合格的RH阴性血液时，献血者已经化验的人数。求已知化验了人尚未出现RH阴性血液的概率，以及化验了人后再化验人仍未出现RH阴性血液的概率。解依题意有随机变量，故所求概率分别为：，.我们称上面的性质为几何分布的无记忆性。它说明几何分布在之前进行的试验次数对随后再进行试验的次数是没有影响的。即：性质若随机变量，则，。证明，故.6.超几何分布某学校有名学生，其中男生、女生，现学校随机选取名同学参加一项公益活动，其中男生的人数恰好为名的概率应如何计算?上例中我们需要对一类总体进行不放回的抽样。一般地若有个个体构成的总体，个具有性质，个不具有性质，不放回抽取个，其中具有性质的个体数目就构成了一个随机变量，这样的随机变量分布称为服从超几何分布。定义2.2.8如果随机变量的概率分布为：，，其中，则称该随机变量服从参数为，，的超几何分布，记为.由组合数的非负性显然，利用组合性质可得：，因此超几何分布满足离散型随机变量概率分布的两条性质。7.泊松分布（）定义2-10如果随机变量的概率分布为：，，，则称该随机变量服从参数为的泊松分布，记为：.由指数函数的幂级数展开式有，当取时，故且由于，所以，故泊松分布满足离散型随机变量概率分布的两个性质。泊松分布在排队问题中有着重要应用。凡是涉及到一段时间内的计数问题，最终都近似服从泊松分布，如单位时间内的电话呼叫数等。由泊松分布的概率分布计算有关事件的概率是比较困难的。经过人们长期努力，通过其他手段得到了泊松分布在不同参数和取值下的分布函数值，并编成了表格形式，称为泊松分布表。随后对服从泊松分布的随机变量概率的计算，我们只需要查表取值就可以了。例2-21某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为的泊松分布来描述。为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该商品？（只在月底进一次货）解设为该商店每月的销售量，则，依题意要求，满足，查参数为的泊松分布表有，，因此商店在月底应存件该商品才能保证以95%以上的概率保证不脱销。8.超几何分布、二项分布、泊松分布的关系在超几何分布中当非常大而抽样个数相对较少时，可以近似地将不放回抽样看作有放回抽样，从而超几何分布近似于二项分布。类似地，当重贝努利试验次数较大而事件发生概率较小时，则我们可以将其看成近似计数问题而符合泊松分布。由此我们得到以下定理：定理2-2（1）若，若时，则；（2）若，若，时，则.（证明略。）定理2.2.2说明，一列服从超几何分布的随机变量，在一定条件下其极限分布为二项分布；而一列服从二项分布的随机变量，在一定条件下其极限分布为泊松分布。这意味着当充分大而相对较小时，我们可以将超几何分布近似看作二项分布处理；而当充分大，相对较小时，我们可以将二项分布近似看作泊松分布处理。即：例2-22纺织厂女工照顾800个纺锭，每个纺锭在某一段时间内发生断头的概率为0.005（设短时间内只发生一次断头）。求在这段时间内总共发生的断头次数不超过2的概率。解设为个纺锭在该时段内发生的断头次数，则，显然充分大，而相对较小，因此可以认为近似服从泊松分布，依题意要求：，即这段时间内总共发生的断头次数不超过的概率为.例2-23一大袋种子，发芽率为，从中任取出粒，问播种后恰好有粒发芽的概率为多少？解设为发芽种子数，一袋种子总数为，则服从超几何分布，由于充分大，而相对来说较小，因此可以近似看成服从二项分布.即：，由定理2.2.1转化为随机变量的取值概率得：.这里我们同时得到了在开始介绍超几何分布时提出的问题的答案，恰好为名男同学的概率与本题一样也为.§2.3连续型随机变量本节主要讨论非离散型随机变量中的一种可以利用积分处理的随机变量，称为连续型随机变量。它是非离散型随机变量中实际应用最广泛的一类。一、连续型随机变量的概率密度函数定义2-11若随机变量的取值不可数，但任意事件的概率可以通过一个非负函数在区间的积分来计算，则称该随机变量为连续型随机变量。我们称为该随机变量的概率密度函数，记为：.该定义表明事件发生的概率等于密度函数在区间上形成曲边梯形的面积。图2-3密度函数的几何意义类似于离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的密度函数也具有以下两条性质：性质密度函数具有以下性质：（1），（2），.连续型随机变量密度函数一定满足前面两个性质，反之满足这两个性质的函数同样可以看做是某个连续型随机变量的密度函数。离散型随机变量的概率分布取值只能是，而由上面的性质我们立即可以发现连续型随机变量的密度函数是可以大于的。这是因为概率分布取值表示离散型随机变量取某一值的概率，而密度函数则表示连续型随机变量在各点取值的“密集”程度，若较大，则表明在邻域中取值的概率较大。当积分上下限相等时积分值为零，因此我们有下列结论：这说明连续型随机变量在单点上取值的概率恒为！我们介绍过几何概型，其每一个样本点发生的概率均为，但并不是说样本点不会出现。这说明概率为的随机事件也是有可能发生的，只不过发生的几率非常的小而已。相对的，不可能事件是一定不会发生，因此其发生概率为零。读者应注意零概率事件和不可能事件的区别。另外，连续型随机变量落在某个区间的概率可以不为，由样本点和事件之间的关系我们可以发现，无穷个概率为的样本点构成的随机事件其概率会不等于，这是个有趣的现象。由于单点概率为，因此一个事件是否包含其区间端点并不影响其概率的大小，即下列事件的概率相等：利用密度函数很容易计算连续型随机变量落在任意区间的概率，其概率值就是密度函数在该区间上的积分，并且这一区间可以是有限区间，也可以是无穷区间。例2-24设随机变量的密度函数为，且，求和，并求.解由密度函数性质立，有，故，又，故，联立求解得：，..例2-25确定常数，使成为某个连续型随机变量的密度函数.解要使得成为密度函数，则必须有，，因此，，又，故，即.二、连续型随机变量的分布函数随机变量的分布函数表示的取值不超过的概率，因此，由变上限积分求导结论可知在的所有连续点上，有.这说明连续型随机变量的密度函数和分布函数之间是可以相互表示的，和离散型随机变量类似，连续型随机变量使用密度函数描述其概率分布情况更为方便。例2-26设为某随机变量的密度函数，求常数和的分布函数。解由密度函数性质，有，故；当时，；当时，；当时，；故分布函数为：.例2-27设为连续型随机变量的分布函数，求的密度函数，并求概率.解当时，；当时，；综上有：；而.性质为连续型随机变量，则的分布函数是上的连续函数。（证明略。）这也是连续型随机变量名称的由来。三、常用连续型随机变量的分布下面介绍几个常用的连续型随机变量及其分布。读者同样需要注意它们所对应的实际背景和概率模型。1.均匀分布第一章我们曾经介绍过几何概型，其特点是样本点个数不可数但发生可能性相等。当样本空间中的样本点可以对应到实数轴的某个区间时，所得到的随机变量称为服从均匀分布。定义2-12若随机变量的密度函数为：，则称服从区间上的均匀分布，记为.通过积分可得此时随机变量的分布函数为：.均匀分布密度函数和分布函数图像如下：图2-4均匀分布密度函数图2-5均匀分布分布函数例2-28设，试计算，，.解，故，，.由此例题可以看出，服从均匀分布的随机变量落入内长度相同的子区间的概率相等。事实上，若，则对于，，有，上述概率只于区间的长度有关而与区间位置无关。例2-29在内任取一点记为，求.解显然，而，故.2.指数分布定义2-13若随机变量的密度函数为，其中为常数。则称服从参数为的指数分布，记为.显然，，而，故指数分布密度函数满足一般密度函数的两条性质。通过积分可得其分布函数为：.指数分布密度函数和分布函数图像如下：图2-6参数为的指数分布密度函数图2-7指数分布分布函数指数分布又称为寿命分布，一般涉及到时间长度问题多服从指数分布。特别是各类电子元器件使用寿命、服务系统两次服务间隔时间、复杂系统中两次故障出现时间等。例2-30某元件寿命服从参数为的指数分布，（1）求这样的元件使用1000小时的概率；（2）已知元件使用500小时未损坏，问还可以继续使用1000小时的概率。解依题意有记该原件寿命为则，则（1），也可代入分布函数直接得到：.（2）.由上例可以看出，服从指数分布的随机变量（表示某产品寿命），已知工作了小时的条件下还能继续工作小时的概率，与无条件工作小时的概率相等。似乎是服从指数分布的随机变量对之前发生过的内容“失去了记忆”，因此称此性质为“无记忆性”。性质2.3.2设，则对于任意给定的和任意，均有下面结论成立：.证明设为指数分布的分布函数，对于，有，所以，.3.正态分布定义2-14若随机变量的密度函数为，，其中，为常数，，则称服从参数为，的正态分布，记为.其分布函数为：.正态分布又称为高斯分布。一般来说一个随机模型如果包含大量小因素共同影响，这些小因素地位相近，其中不存在主导因素时，这一随机模型就可以看做是服从正态分布了。比如测量误差、随机身高、农作物收获等等。下图表示参数为，的正态分布的密度函数和分布函数：图2-9正态分布密度函数图2-10正态分布分布函数正态分布的密度函数具有以下特点：（1）密度函数呈钟形，且对称轴为；（2）当时，密度函数达到最大值；（3）正态分布密度函数在产生拐点；（4）正态分布密度函数恒有且以轴为渐近线；（5）参数的意义：一般我们将正态分布密度函数中参数称为位置参数，因为确定了密度函数图像的中心位置；当大于时图像对称轴在轴右侧，当小于时图像对称轴在轴左侧；随着的增大函数沿着轴向右平移。参数称为形状参数。越大函数图像越平坦、越矮，越小函数图像越陡峭、越高；（6）原则：以为中心，的取值落入邻域中的概率为0.6828，落入邻域中的概率为0.9546；落入邻域中的概率为0.9974.即；；.以上结论称为正态分布的原则，它表明服从正态分布的随机变量取值在邻域内已经非常接近了。图2-11正态分布参数变化对图像的影响图2-12正态分布的原则当、时，称之为标准正态分布，即.一般我们用来表示标准正态分布的密度函数：，用表示标准正态分布的分布函数即：.图2-13标准正态分布密度函数图2-14标准正态分布分布函数容易看出标准正态分布的密度函数关于轴对称，其最大值为，分布函数图像与轴交于点，这说明当时，其分布函数值为即.对于正态分布，无法通过直接积分计算分布函数，因为的原函数很难用初等函数表示。一般对于标准正态分布，若，则可以通过查本书附录的标准正态分布表得到。若，则可以利用以下性质转化为取值的来处理。性质.证明由密度函数的对称性立即有：命题得证。同时我们发现表中取值只有，这是因为当时，已经非常接近了。也就是说随机变量取值大于的概率已经非常非常小，几乎可以忽略不计。例2-31已知，（1）求，，，；（2）已知，，求，.解（1）查表可得：，，，，（2）因为，查表可得；因为，查表可得即.标准正态分布我们已经可以通过标准正态分布表来处理其概率的计算问题，那么对于一般正态分布应该如何去处理它的概率计算问题呢？为此我们不加证明的给出下面两个定理，其证明放在本章第四节讨论。定理2-3若，那么.定理2-4若，那么.由上面两个定理可知，一般正态分布和标准正态分布可以通过变量替换相互转化。这为我们提供了一条通过标准正态分布处理一般正态分布的途径，即可以通过的转化将一般正态分布转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表来获得一般正态分布的分布函数值。例2-32已知，（1）求：，；（2）求，，.解（1），；（2），，.例2-33已知，若，，试求，以及概率.解由于，且故有：求解得：；.例2-34从南郊某地乘车前往北区火车站搭乘火车有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（分钟）服从正态分布，第二条路线沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布.若（1）有70分钟时间；（2）有65分钟时间。问在上述两种情况下分别应该走哪条路线？解显然，路线选择应该以允许时间内到达火车站概率较大为准。设走第条路所需时间为，，则（1）有70分钟时，走第一条路及时赶到的概率为：，走第二条路及时赶到的概率为：，显然走第二条路更好。（2）有65分钟时，走第一条路及时赶到概率为：，走第二条路及时赶到概率为：，显然走第一条路更好。§2.4随机变量函数的分布在第二节中我们曾经利用变量替换将服从参数，的二项分布转化为服从参数，的二项分布.同样，在第三节我们利用变量替换将服从参数，的正态分布转化为标准正态分布.事实上这两个变化过程我们都可以将的取值看做是取值分别代入函数和中得到的，即是的函数。随机从一袋球中取一个，考察半径，得随机变量；若考察其体积，则得随机变量.显然与之有函数关系。一、离散型随机变量函数的分布设，若为离散型随机变量，则的取值一定也是离散的。因此可以通过分布列的关系来讨论的概率分布。事实上取某一值的概率等于取相应值的各概率之和。例2-35，其中分布列如下，求的分布列。解由与的关系可得随机变量的可能取值为，，，，，，于是有：故的分布列为：例2-36已知的分布列如下，，，求和的分布列。解因为，故即有的分布列如下：由于，故当和时，均有，此时需要将同一取值的概率合并得：二、连续型随机变量函数的分布与离散型随机变量函数不同，连续型随机变量的函数虽然也是随机变量，但有可能取值是连续也有可能取值是离散的（如习题二中28题所示）。对于连续型随机变量其函数是离散型随机变量的，我们可以类比离散型随机变量函数的处理，将函数值相同的取值点概率累加。下面我们主要讨论连续型随机变量的函数为连续型随机变量的情况。此时连续型随机变量函数的密度函数可以通过该随机变量的密度函数推出。一般地若，，给定，即，而时，对应的，于是，这说明对于所求的函数的分布函数可以考虑转化为自变量的分布函数。对于一般的连续型随机变量，我们希望得到其函数的密度函数。只须先求的分布函数；由取值的对应关系可以将求的分布函数转化为求的分布函数；若已知的密度函数，只须求积分即可得到的分布函数。因此这里的关键就在于由函数值向自变量取值的转化。一般地记有：，则.下面我们通过几个例子来体会这种转化。例2-37，，求的密度函数。解由于，因此首先求的分布函数.，当时，，故；当时，，故；综上有：.注：上例中所得结果具有一般性，可以作为公式使用。例2-38设，证明：.解，故.由于，即，代入即得：，即.注：由于，此题也可以直接代入以上公式得。请读者自己验证。例2-39，证明：.解由于，直接代入公式有：，即.注：当时有，与上一题的结果相结合得到的正是上一节我们给出的标准正态分布和一般正态分布相互转化的结论。例2-40设，求的密度函数。解若，则因此若，显然，从而.当时，此时有：.注：此分布是一类重要分布的特殊形式。我们称之为服从自由度为的卡方分布记为：。一般地，若，，……，相互独立且同服从标准正态分布，则称为服从自由度为的卡方分布，记为.它是数理统计中的重要分布之一。例2-41已知，.求的密度函数。解若，则，若，则因此从而.习题二（A）1.设，为两个分布函数，试问：（1）是否为分布函数？（2）若，均为常数且，则是否为分布函数？2.设袋中有个小球，个红球，个白球，任取个球，其中的红球记为，求的概率分布和分布函数并做图。3.一批产品中有件正品，件次品。现从中随机地一件一件取出，以表示直到取得正品为止所取的次数，分别求出在下列情况下的概率分布：（1）每次取出产品不放回；（2）每次取出产品检验后放回；（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回再抽取。4.如果一次投篮命中篮筐的概率为，求一次投篮投中次数的概率分布和分布函数。5.设随机变量和分别服从和，已知，求.6.假设一厂生产的仪器以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂。现在该厂新生产了20台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）一台仪器能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（