《排列、组合与二项式定理》章末归纳复习

高中数学精选资源3/3《排列、组合与二项式定理》章末归纳复习知识网络建构答案=1\*GB3①完成一件事,如果有类办法,且:第一类办法中有种不同的方法,第二类办法中有种不同的方法……第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法=2\*GB3②完成一件事,如果需要分成个步骤，且：做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法……做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法=3\*GB3③从个不同对象中,任取个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从个不同对象中取出个对象的一个排列=4\*GB3④=5\*GB3⑤从个不同对象中取出个对象并成一组,称为从个不同对象中取出个对象的一个组合=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩知识要点整合一、基本计数原理1.分类加法计数原理.完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.2.分步乘法计数原理.完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.3.利用两个计数原理解决问题的思路.（1）选择使用两个计数原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个计数原理的本质.（2）分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.（3）分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理.例1某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，不同选法共有（）A.100种B.102种C.152种D.50种解析这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生，根据分类加法计数原理，共有种不同选法.答案C例2现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种类为（）A.7B.12C.64D.81解析完成一种搭配有两个步骤：第一步选上衣，有4种不同的选法；第二步选长裤，有3种不同的选法.所以根据分步乘法计数原理共有种不同的搭配法?答案B例3如图，一个正方形花圃被分成5份若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则有多少种不同的种植方法？解析先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同两种情况进行分类考虑.答案先对部分种植,有4种不同的种植方法;再.对部分种植,有3种不同的种植方法;对部分种植进行分类:=1\*GB3①若与相同,则有2种不同的种植方法,有2种不同的种植方法,共有种.=2\*GB3②若与不同,则有2种不同的种植方法,有1种种植方法,有2种不同的种植方法,共有种.综上所述,共有种种植方法.二、排列数与组合数的应用1.排列数及其公式.从个不同对象中取出个对象的所有排列的个数,称为从个不同对象中取出个对象的排列数,用符号表示.1),.2.组合数及其公式.从个不同对象中取出个对象的所有组合的个数,称为从个不同对象中取出个对象的组合数,用符号表示..3.解决排列与组合应用题的常用方法;（1）合理分类,准确分步;（2）特殊优先,一般在后;（3）先取后排,间接排除;（4）集团捆绑,间隔插空;（5）抽象问题,构造模型.提醒:对于排列、组合的综合题目,一般是将符合要求的对象取出或进行分组,再对取出的对象或分好的组进行排列,即一般策略为先组合后排列.分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.例4从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则不同的选派方案共有（）A.108种B.186种C.216种D.270种解析从7个人中选3个人分别从事三项不同的工作,有种选法,其中一个女生也没有的选法有种选法,所以至少有一个女生的选法有种.答案B例5某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有_____种.解析从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有种.答案2520例6某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4人（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置差异）（1）共有多少种不同的乘坐方式？（2）若A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰好有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有多少种？解析（1）根据题意，分2步进行分析：①将8人分成2组；②将分好的2组进行排列，安排到甲、乙两辆车，由分步乘法计数原理计算可得答案.（2）根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两名乘客要来自不同的家庭；②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类加法计数原理计算可得答案.答案（1）根据题意，8个小孩坐2辆汽车，每车限坐4人，分2步进行分析：=1\*GB3①将8人分成2组,有种分组方法,=2\*GB3②将分好的2组全排列,安排到甲、乙两辆车,有种情况,则有种不同的乘坐方式.（2）=1\*GB3①A户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两名乘客要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,有种乘坐方式;=2\*GB3②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个小孩都在甲车上,对于剩余的2个家庭,从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,有种乘坐方式.则共有种乘坐方式.三、二项式定理及其应用1.二项式定理.一般地,当是正整数时,有.上述公式称为二项式定理,等式右边的式子称为的展开式,它共有项,其中是展开式中的第项（通常用表示),称为第项的二项式系数,我们将称为二项展开式的通项公式.2.二项式系数的性质.（1）.（2）.3.二项式定理的问题类型及解答策略.（1）确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项式中的有关元素.（2）确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项.（3）求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数.（4）求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.（5）确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质（6）把被除数的底数拆成与除数的倍数有关的和（或差）式，就可以利用二项式定理证明整除（或求余数）问题.（7）当不是很大,比较小时可以用展开式的前几项求的近似值.例7已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项;（2）在的展开式中,求含项的系数(结果用数字作答).解析先根据二项展开式和二项式系数的性质,求出的值.（1）写出展开式的通项,令的指数为0,即可求出常数项.（2）利用通项的特点,依次写出对应的项的系数(即二项式系数),然后借助于二项式系数的性质计算.答案由已知得所有奇数项的二项式系数之和为,所以.（1）展开式通项为:,.令得.故常数项为.（2）含的项的系数为将代人得.例8求证:.解析将写成,用二项式定理展开,再进行放缩.答案当时.不等式成立.例9求的近似值,使误差小于.解析将表示为,再用二项式定用展开进行估值.答案,展开式中第3项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,.核心素养梳理一、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养本章中，有关排列数、组合数的计算、二项式定理中系数与系数和的计算等就体现了数学运算的核心素养.例1（1）若,求的值;（2）求的值(用数字作答).解析（1）利用排列数公式即可得到结果.（2）利用求解.答案（1）原式等价于,即:,解得:或,舍去),∴.（2）例2（1）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为,求的值;（2）记.，=1\*GB3①求;=2\*GB3②设,求和:解析（1）直接根的二项式系数之比列方程即可求解.（2）=1\*GB3①,令即可求得结论.=2\*GB3②根据,又,求得,进而结合二项式系数的性质求解结论.答案（1）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为,为.（2）=1\*GB3①由题意知:,令得:.=2\*GB3②由题意:,又,，，.二、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命題的素养.本章中的排列组合问题就需要很强的逻辑推理能力,二项式定理中的关于系数和、参数的计算等就体现了逻辑推理的核心素养.例3在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目(写出必要的数学式,结果用数字作答)：（1）三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?（2）四名男生相邻有多少种不同的排法?（3）女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色的朗诵节目,有多少种选派方法?（6）现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?解析本题考查排列、组合的实际应用,注意优先分析受到限制的对象.答案（1）根据题意,分2步进行分析;=1\*GB3①将4名男生全排列,有种情况,排好后有5个空位；=2\*GB3②在5个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,则三名女生不能相邻的排法有种.（2）根据题意,分2步进行分析;=1\*GB3①将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有种情况;=2\*GB3②将这个整体与三名女生全排列,有种情况,则四名男生相邻的排法有种.（3）根据題意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况；②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法则此时有种站法，则一共有种站法.（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，甲乙丙三人内部的排列共有种结果，要使得甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有种排法.（5）根据题意，首先从4名男生和3名女生中各选出2人，有种情况，其次4人分演四个不同角色，有种情况,共有种选派方法.（6）根据题意,恰好有两个空座位相邻分2种情况:=1\*GB3①两个相邻空座位在两边,即第1,2号或第6,7号座位,第三个空座位有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2,3号,3,4号,4,5号或5,6号座位中的一个,第三个空座位有3种选择,4个男生全排列有种排法,共有种坐法.例4证明:能被31整除.解析把表示为,再用二项式定理展开.答案,显然为整数,原式能被31整除.高考真题再现考点1排列与组合本章内容在高考中是必考内容，通过排列与组合的知识计算有关概率的题目，常与随机变量的分布列（下一章内容）相结合，以解答题的形式考查，难度中等偏上.例1（2020·全国Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_____种.解析名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,先取2名同学看作一组,选法有:.现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:.根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有种.答案36例2（2018·浙江)从中任取2个数字,从中任取2个数字,一共可以组成_____个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析按是否取0分为2类,.答案1260考点2二项式定理高考中对二项式定理的考查也是必考内容,意在考查考生对二项式定理的理解能力、数据的运算求解能力,以选择题形式出现较多,难度较小.例3(2020・全国I)的展开式中的系数为A.5 B.10C.15D.2解析展开式的通项公式为且,所以与展开式的乘积中的项可表示为：或.在中,令,可得:,该项中的系数为10,在中,令,可得:,该项中的系数为5.所以的系数为.答案例4(2020・全国III)的展开式中常数项是_____(用数字作答).解析∵的二项展开式的通项公式.当,解得.的展开式中常数项是:.答案240例5-浙江在二项式的展开式中,常数项是__