第五章第三节第2课时简单的三角恒等变换

第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.

(2)公式C2α:cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα2.常用的部分三角公式(1)1cosα=2sin2α2,1+cosα=2cos2α2.((2)1±sinα=(sinα2±cosα2)2.((3)sin2α=1-cos2α2,cos2tan2α=1-cos2α1+cos23.半角公式sinα2=±1cosα2=±1+costanα2=±1-cosα1+cos【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 ()A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B.存在实数α,使tan2α=2tanαC.cos2θ2=D.tanα2=sinα【解析】选ABD.由半角公式、二倍角公式可知,选项A正确;因为当α=0时,tan2α=2tanα=0,所以选项B正确;因为由二倍角公式可知:cosθ=2cos2θ21,所以cos2θ2=1+cosθ2,因为tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22co2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2π12cos25π12= (A.12 B.33 C.22 【解析】选D.因为cos5π12=sin(π25π12)所以cos2π12cos25π12=cos2π12sin2π12=cos(2×π12)=3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2=A.3-58 B.-1+58 C.3【解析】选D.cosα=1+54,则cosα=12sin2α2,故2sin2α2=1cos即sin2α2=3-58=(5)2+12-所以sinα2=-4.(忽视隐含条件)已知2sinα=1+cosα,则tanα2= (A.2 B.1C.2或不存在 D.12【解析】选D.当α=2kπ+π(k∈Z)时,满足2sinα=1+cosα,此时tanα2不存在;当α≠2kπ+π(k∈Z)时,tanα2=sinα1+cosα【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f(x)=sin2x+3sinxcosx12可以化简为 (A.f(x)=sin(2xπ3B.f(x)=sin(2xπ6C.f(x)=sin(2x+π3D.f(x)=sin(2x+π6【解析】选B.f(x)=sin2x+3sinxcosx12=1-cos2x2=32sin2x12cos2x=sin(2xπ(2)已知0<θ<π,则(1+sinθ+cos【解析】由θ∈(0,π)得0<θ2<π2,所以cosθ2>0,所以2+2cosθ=4co又(1+sinθ+cosθ)(sinθ2cosθ2)=(2sinθ2cosθ2+2cos2θ2)(=2cosθ2(sin2θ2cos2θ2)=2cosθ2cosθ.故原式=答案:cosθ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos4x【解析】原式=12(4cos4x-4cos2答案:12cos22.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β12cos2αcos2β=________【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α=1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β=12+12cos2αcos2β12cos2αcos2β答案:1【加练备选】化简:2sin(π-【解析】2sin(π-α)+sin2答案:4sinα考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(αβ)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)= (A.79 B.19 C.19 【解析】选B.因为sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=12sin2(α+β)=12×(23)2=1【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟)sin12°(2cos【解析】因为sin12°(2cos212°-1答案:1【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(βα)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D【解析】选A.因为α∈π4,π,所以2α∈π2,2π,因为sin2α=55所以α∈π4,π2且cos2α=255,又因为sin(βα)=所以βα∈π2,5π4,cos(βα)=31010,所以cos(α+β)=cos=cos(βα)cos2αsin(βα)sin2α=-31010×-255又α+β∈5π4,2π,所以α+β【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θπ4)=223,则sin2θ的值为A.79 B.79 C.29 【解析】选B.由sin(θπ4)=223,得sin(θπ4)=sinθcosπ4cosθsinπ4=22(sinθcosθ)=223,即sinθcosθ=43,等式两边同时平方,得1sin22.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(3,4),则tanα2= (A.12或2 C.13或3 【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(3,4),所以sinα=45,cosα=35,所以tanα2=sinα3.已知sin(αβ2)=55,sin(βα2)=1010,且αβ2∈(0,π2),βα2∈(0,π【解析】因为αβ2∈(0,π2),βα2∈(0,π2),所以0<α+β2<π,coscos(βα2)=31010.因为cosα+β2=cos[(αβ2)+=cos(αβ2)cos(βα2)sin(αβ2)sin(βα2)=255×3101055×答案:π4.化简求值:3-【解析】原式=3-4sin20°(1=2sin(40°-20°)2sin20°【加练备选】若tan2α=34,则sin2α+cosA.14或14 B.3C.34 D.【解析】选D.由tan2α=2tanα1-tan2α=34,可得tan故sin2α+cos2α当tanα=3时,2×3+13×32+1=当tanα=13时,2×(-13)+1考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,DAOA=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OBOA=cos设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33sinα)sin=sinαcosα33sin2α=12sin2α36(1cos2α)=12sin2α+=13(32sin2α+12cos2α)36=13sin(2α由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,S最大=1336=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧PQ上),则矩形ABCD面积的最大值为__________【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OCsinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα则OF=32AD=23sinα,OE=OCcosα=2cosα,则AB=2cosα23sinα所以矩形ABCD的面积S