福建省福州市八县（市区）协作校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

福建省福州市八县（市、区）协作校20232024学年高一下学期4月期中考试数学试题【完卷时间:120分钟;满分:150分】命题:福清融城中学林世平何思斌一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设，其中为虚数单位，则（）A. B. C.1 D.5【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.【详解】由，得，而，因此，所以.故选：A2.已知向量不共线，则向量与共线时，实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.【详解】由向量不共线，得向量，由向量与共线，得，于是，所以.故选：B3.若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，故选：A4.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可.【详解】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形状为直角三角形.故选：B.5.在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.【详解】解析：．故选：C．6.已知复数满足，则最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得.【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，是上述圆上的点到复数对应点的距离，而，所以的最小值是.故选：A7.已知向量，则以下说法正确的是（）A. B.方向上的单位向量为C.向量在向量上的投影向量为 D.若，则【答案】D【解析】【分析】对于A：求出坐标即可得模；对于B：通过求单位向量；对于C：通过投影向量的公式计算；对于D：通过计算是否成立来判断.【详解】对于A：，所以，A错误；对于B：方向上的单位向量为，B错误；对于C：，则向量在向量上的投影向量为，C错误；对于D：，所以，D正确.故选：D.8.已知在中，角所对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理结合已知，化简，再利用正弦函数单调性求解即得.【详解】在中，由，得，则，，由余弦定理得，因此，依题意，，则，所以的取值范围是.故选：B二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)9.设复数，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算，结合共轭复数、模的意义逐项计算判断即得.【详解】对于A，，则，A正确；对于B，由选项A知，，而，B错误；对于C，，则，，C错误；对于D，，，D正确.故选：AD10.定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（）A.若，则 B.C.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D.若，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定两个向量的叉乘定义，逐项计算判断得解.详解】对于A，由，得，而，因此，又，则或，所以，A正确；对于B，，当时，，当时，，B错误；对于C，的面积，C正确；对于D，由，得，由，得，两式平方相加得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD11.如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值可能是（）A.0 B.1 C.6 D.13【答案】BCD【解析】【分析】取中点，利用数量积的运算律，结合定点与圆上点的距离范围求出的范围即可.【详解】在正中，取中点，连接，，则，由是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，得，所以，的取值可能是1，6，13，BCD正确，A错误.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知复数为纯虚数，则实数的值是__________．【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法运算求出复数的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】，由复数为纯虚数得，所以.故答案为：.13.一艘游船从海岛出发，沿南偏东的方向航行8海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行16海里后到达海岛，若游船从海岛出发沿直线到达海岛，速度为8海里/时，则需要的航行时间为__________小时．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再用距离除以速度等于时间来计算.【详解】在中，，海里，海里，所以，所以海里，又游船速度为8海里/时，则需要的航行时间为小时.故答案为：.14.平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值.【详解】由，得，整理得，依题意，，不等式恒成立，则，因此，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)．（1）求实数的值;（2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解.（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得.【小问1详解】依题意，点在第四象限，即，由，得，即，所以.【小问2详解】由（1）知，，由复数是关于的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【小问1详解】由于，，则．因为，由正弦定理知，则．【小问2详解】因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．17.已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，且______________．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求A；（2）若，点D是BC边的中点，求线段AD长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①可利用正弦定理边化角再结合三角形内角和及两角和差公式即可求得，或者利用余弦定理将角化边即可求得A.（2）由点D是BC边的中点，可用向量利用平行四边形法则及余弦定理，将线段AD长转化成含有的函数，再由取值范围，求得函数的值域，即可求得线段AD长的取值范围.【小问1详解】若选①，方法一因为，所以由正弦定理可得，又，，即，又因为C为三角形内角，，所以，又因为，所以．方法二因为，所以由余弦定理可得，即，，又因为，所以．若选②，因为，所以，整理可得：，解得：或，又因为，可得，所以，所以．若选③，因为，所以，可得，即．又因为，所以．【小问2详解】法一：因为，所以，．因为D是BC的中点，所以，所以，所以当时，，即，又，即故线段AD长的取值范围为．法二：因为D是BC的中点，所以，所以当且仅当时，，由可知：，即故线段AD长取值范围为．法三：因为，所以，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，整理得，将，代入整理得：，所以当时，，即，又，即故线段AD长的取值范围为．18.已知点G为三条中线交点．（1）求证:（2）若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:（3）过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.（2）利用（1）的结论，结合向量的减法法则推理即得.（3）由（1）的信息，结合共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【小问1详解】令分别为的边上的中线，则，由点在上，得，显然，则，即，又点共线，于是，解得，则，因此，所以.【小问2详解】由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，因此，即，所以.小问3详解】由（1）知，，而，，因此，又点共线，则，即，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.19.如图，在中，，点在线段上（异于两点），延长到，使得，设（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，根据题意可知，在根据向量的加减运算求出，从而得出的值，然后求解即可.（2）设，由题意得，设，即可得点三点共线，因为点是直角斜边上异于的点，所以当