吉林省名校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学

高一数学试卷注意事项：1．答题前、考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某圆台的上底面、下底面的半径分别为3cm，2cm，高为3cm，则该圆台的体积为（）A． B． C． D．2．若复数，，则（）A． B． C．2 D．53．若向量，，，则（）A． B． C． D．4．已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，△AOB的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A．6 B． C．12 D．6．在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（）A．2 B．6 C． D．7．如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（）A．80米 B．米 C．米 D．米8．在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则在上的投影向量为10．若三个不同的平面，，两两相交，且，，，则交线，，的位置关系可能是（）A．正合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行11．在正四棱台中，，，P为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．直线与异面 B．直线与平面ABCD所成的角为C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______．13．若，，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于第______象限，实数a的值为______．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，．（1）证明：平面PAB．（2）求三棱锥的体积．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，求△ABC外接圆的半径R；（3）若，，求△ABC中BC边上的中线长．17．（15分）如图，在梯形ABCD中，，，，，E在线段BC上．（1）若，用向量，表示，；（2）若AE与BD交于点F，，，，求x的值．18．（17分）在△ABC中，∠BCA与∠BAC的角平分线交于点D，已知．（1）求角B的大小；（2）若，求△ACD面积的最大值．19．（17分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．（1）证明：平面．（2）证明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．高一数学试卷参考答案1．B该圆台的体积为受．2．B因为，，所以．3．A因为，所以，解得．4．D推不出，也推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．5．D由题意得△AOB的原图如图所示，其中D为AB的中点，且，，所以，故．6．C取BD的中点E，连接AE．因为，所以．又平面平面BCD，平面平面，所以平面BCD．因为，，所以，所以四面体ABCD的体积．7．A由题意可得，米，，则．在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得米．8．C如图，设，连接．因为，且几何体为正四棱柱，所以．因为，所以，所以．9．ABD若，则，解得，A正确．若，则，解得，B正确．若，则，在上的投影向量为，C错误，D正确．10．ABC如图，交线，，的位置关系可能是重合．由三棱锥的三个侧棱相交于一点，可知交线，，的位置关系可能是相交于一点．由三棱柱的三个侧棱两两平行，可知交线，，的位置关系可能是两两平行．若有两条交线互相平行，则可证它们均与第三条直线平行，所以交线，，的位置关系不可能是恰有两条交线平行．11．BC如图1，与相交，则A错误．设，O分别是和AC的中点，则是四棱台的高．作，垂足为H．由题中数据可知，则直线与平面ABCD所成的角为，，则，故B正确．如图2，把四边形，展开至同一个平面，连接AC，，．易知的最小值就是展开图中AC的长．在△ABC中，，，则，即的最小值为，故C正确．在中，由余弦定理可得，则，从而，由图可知，则D错误．图1图212．36π设该正方体外接球的半径为R，则，所以该正方体外接球的表面积为．13．一；因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限．因为为纯虚数，所以，解得．14．依题意可得，则，则，解得，，所以．因为，所以．当，即，即时，取得最大值，且最大值为．15．（1）证明：如图，取PA的中点E，连接EB，EM．因为ME是△PAD的中位线，所以．又因为，所以，所以四边形MEBN是平行四边形，所以．又因为忙平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．（2）解：因为M为PD的中点，所以三棱锥的高为．因为，所以．16．解：（1）因为，所以，则．在△ABC中，，，所以，所以．（2）在△ABC中，因为，所以．因为，所以．（3）在△ABC中，因为，所以．设D为BC的中点（图略），因为，所以，解得，即△ABC中BC边上的中线长为．17．解：（1），．（2）因为，所以，所以．因为，所以，所以，即，解得或．连接AC交BD于G．因为，所以，所以，则．因为E在线段BC上，所以，故．18．解：（1）因为，所以，所以，．因为，所以．因为，所以．（2）因为，所以，所以，所以．由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立．因为，所以△ACD面积的最大值为．19．（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，所以．因为，所以△ABC为正三角形．因为N为AB的中点，所以．又平面ABC，所以，因为，所以平面．（2）证明：取的中点D，连接DM，DN．因为N为AB的中点，所以，且．又，