高考数学理科二轮总复习练习第四篇　回归教材纠错例析帮你减少高考失分点5

5.立体几何1．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题1]底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为________．答案3eq\r(3)解析由题意作出图形如图．∵三棱锥P－ABC是正三棱锥，顶点P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中点F，连结PF，DF，PD.在△PDF中，PD＝1，DF＝eq\f(\r(3),3)，∴PF＝eq\r(1＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3)，∴棱锥的侧面积S侧＝3×eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝2eq\r(3)，∵底面积为eq\r(3)，∴表面积为3eq\r(3).2．空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题2]下列命题正确的是________．(填序号)①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.答案④3．空间垂直问题的转化关系eq\x(线线垂直)eq\o(,\s\up7(线面垂直的判定),\s\do5(线面垂直的定义))eq\x(线面垂直)eq\o(,\s\up7(面面垂直的判定),\s\do5(面面垂直的性质))eq\x(面面垂直)垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[问题3]已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是________．答案1易错点1旋转体辨识不清例1如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．易错分析注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．解由题图中数据及圆台和球的体积公式，得V圆台＝eq\f(1,3)×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝eq\f(4,3)π×23×eq\f(1,2)＝eq\f(16,3)π(cm3)．所以旋转体的体积为V＝V圆台－V半球＝52π－eq\f(16,3)π＝eq\f(140,3)π(cm3)．易错点2线面关系把握不准例2设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中正确的个数为________．①若b⊂β，a∥b，则a∥β；②若a⊥β，α⊥β，则a∥α；③若a⊥b，b⊥α，则a∥α.易错分析本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a⊄α，a⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如①中忽视已知条件中的a⊄β，误以为该项错误等．解析对于①，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a∥β，故①正确；对于②，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知，a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α，故②正确；对于③，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α，而由已知可得a⊄α，所以a∥α，故③正确．答案3易错点3线面关系论证不严谨例3在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C.易错分析利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题．证明(1)连结BD1，如图所示．在△DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EF∥D1B，,D1B⊂平面ABC1D1，,EF⊄平面ABC1D1))⇒EF∥平面ABC1D1.(2)ABCD－A1B1C1D1为正方体⇒AB⊥平面BCC1B1⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥AB，,B1C⊥BC1，,AB，BC1⊂平面ABC1D1，,AB∩BC1＝B))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥平面ABC1D1，,BD1⊂平面ABC1D1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥BD1，,EF∥BD1))⇒EF⊥B1C.1．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.答案①④解析①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才能保证m⊥β，错误；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正确．2．(2017·江苏南通中学期中)已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．答案eq\f(2\r(6),3)π解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＝2π，,πrl＝4π，))解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，所以高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π.3．(2017·江苏新海中学期中)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．答案eq\f(16π,3)解析等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2.∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2.∴几何体的体积V＝2×eq\f(1,3)×π×4×2＝eq\f(16π,3).4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________cm3.答案3解析＝＝eq\f(1,3)××B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×D1D×B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2×3＝3(cm3)．5．设一个正方体与底面边长为2eq\r(3)，侧棱长为eq\r(10)的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．答案2解析由题意可得正四棱锥的高为2，体积为eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×2＝8，所以正方体的体积为8，所以棱长为2.6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.答案5解析由题意可得三个扇形的弧长分别为eq\f(5π,3)，eq\f(10π,3)，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1＝eq\f(5,6)，r2＝eq\f(5,3)，r3＝eq\f(5,2)，所以r1＋r2＋r3＝eq\f(5,6)＋eq\f(5,3)＋eq\f(5,2)＝5.8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1－A1BD的体积为________cm3.答案eq\f(3,2)解析因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，所以三棱锥D1－A1BD的体积＝＝×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1D1×D1D×AB＝eq\f(1,6)×3×1×3＝eq\f(3,2)(cm3)．9．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：(1)直线PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.证明(1)连结OE，如图所示．因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点．又E为PC的中点，所以OE∥PA.因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE.(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.10．(2017·江苏江阴市调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA＝MC.(1