正态分布课件

高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举.德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信

息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是正态分布.那么,什么是正态分布?正态分布的曲线有什么特征?新课导入学业标准学科素养1.通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念(重点).2.通过借助具体实例的频率分布直方图，

了解正态分布的特征及曲线表示的含义

(重点).1.通过正态分布相关概念的学习，

培养数学抽象等核心素养；2.通过运用正态曲线的性质求随3.了解正态分布的均值、方差及其含义

(难点).机变量在某一区间的概率，提升数学运算、直观想象等核心素养.4.会用正态分布解决实际问题学习目标X01knPX01knPX01P2、二项分布：X～B(n,p):3、超几何分布：复习旧知1、两点分布：生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如：①小明上学途中等公交车的时间X;②实验中测量某零件尺寸的误差Y;③秦皇岛5月份的降雨量Z;④某电器的使用寿命;●●你还能举出几个这样的例子吗?连续型随机变量：如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个

区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0,我们称这类变量为连续型随

机变量。情境导学-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9问题1

自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控

制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存

在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X

表示这种误差，则X

是一

个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐

,获得误差X(单位：g)的观测值如下：情境导学-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9探究1:

如何描述这100个样本误差数据的分布?如何构建适当的概率

模型刻画误差X的分布?新知探究区间频数频率频率/组距探究1:

如何描述这100个样本误差数据的分布?如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?新知探究频率/组距0.200.150.100.05-6-4-2

0

2

4

0

X追问1:观察图形，你能获得什

么信息?追问2:若数据无限增多且组距无

限缩小，那么频率分布直方图会

有怎么样的变化?根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布

,如下图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应

区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.新知探究f(x)0.200.150.100.050-6-4-2

0

2

4

6

x正态密度曲线：若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的的轮廓形成一条光滑的钟形曲线，我们称此曲线为正态密度曲线.特征：①“中间高，两头低，左右对称”②曲线与x轴一起围成的面积为1新知生成f(x)0.200.15其中μ∈R,

σ>0

为参数

.0.100.05新知生成正态密度函数：质量误差的概率密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：0-6-4-2

0

2

4

6

X正态分布：如图所示，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量

X

服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.若X~N(u,σ2),

则X取值不超过x

的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X<b)

为区域B的面积.面积即为概率!新知生成在实际中许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征，

.

.

.

;在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水

文中的水位；服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.新知生成特点：(1)非负性：对Vx∈R,f(x)>0,

图象在x轴上方；(2)对称性：曲线是单峰的，关于直线x=μ对称；(3)最大值：曲线在x=μ处达到峰值(4)曲线与x轴之间的区域的面积为1;(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.探究2:观察正态曲线及相应的密度函数，正态曲线有哪些特点?新知探究探究3:一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线

的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征?(1)当参数σ取定值时，观察μ对正态分布曲线的影响.参数μ反映了正态分布的

集中位置，可以用均值来估

计，故有E(X)=μ

.值的变化而沿x轴平移，故μ

称为位置参数；f(x)

μ=0μ=1取σ=1μ=-1若σ固定，函数图像随μ新知探究0

X若μ固定，σ大时，曲线“矮

胖”;σ小时，曲线“瘦

高”,

故

称σ为形状参数。σ反映了随机变量分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准

差来估计，故有D(X)=σ².X探究3:一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线

的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征?(2)当参数μ取定值时，观察σ对正态分布曲线的影响.f(x)

个σ=0.5σ=1O=2μ新知探究取μ=02、已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ=

,方差σ2=

,μ,σ(σ>0)都是实数1、下列函数是正态密度函数的是(

)小试牛刀A●密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(BCD)A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，

比丙大D.

甲、乙、丙总体的平均数不相同3、(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布小试牛刀4、(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(

ABD

)A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点小试牛刀例1:李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34

min,

样本方差为4.假设坐公交车

用时X

和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y

的分布中的参数；解：(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ,用样本标准差估计参数σ,可以得到：X~N(30,6²),Y~N(34,22)典例剖析例1:李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30

min,样本方差为36;骑自行车平均用时34

min,

样本方差为4.假设坐公交车

用时X

和骑自行车用时Y都服从正态分布.(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度yAY的密度曲线X的密度曲线0

26303438

t/min典例剖析曲线；例1:李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34

min,

样本方差为4.假设坐公交车

用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(3)如果某天有38

min

可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只

有34

min

可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由.(3)Y的密度曲线X

的密度曲线

yA

P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以，如果有38min可用，那么骑自行X

的密度曲线

Y的密度曲线车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.

26303438

t/min典例剖析探究4:正态曲线下的面积规律：(1)X

轴与正态曲线所夹面积恒等于1;(2)对称区域面积相等，即概率相等.S(-X₁

,-X₂)

S(x₁,X₂)-X₁-X₂μ

X₂X₁新知探究μ-3σμ-2oμ-σμ

μ+o

μ+2σ

μ+3ok…68.27%

……

95.45%……

………

…99.73%……

…探究4:正态曲线下的面积规律：假设X～N(μ,σ²),可以证明：对给定的k∈N*,

P(μ-ko≤X≤μ+ko)是一个只与k有关的定值.特别地，(3)3σ原则：在实际应用中，服从于正态分布的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.P(μ-o<X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2o<X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.新知探究【例2】设s~N(1,4),试求：(1)P(-1<ξ≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).解：(1)∵ξ~N(1,4),∴μ=1,σ=2,P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827.典例剖析(2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤

一1),【例2】设s~N(1,4),试求：(1)P(-1<s≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).典例剖析【例2】设s~N(1,4),试求：(1)P(-1<s≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).典例剖析利用正态分布求概率的两个方法：(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)“3σ”法：利用