浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2023学年第二学期期中联考高一数学试题命题：桐乡风鸣高级中学饶彬、李新华审题：慈溪实验高级中学傅依宁海知恩中学辛振雷校稿：沈阿琴考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】，所以其对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知平面向量，，若，则实数（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量，，由，得，所以.故选：A3.如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可.【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误；线面关系用“”或“”表示，故BD错误；根据图形有，C正确.故选：C4.在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（）A.30° B.45° C.135° D.90°【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得,,得出，所以.故选：A.5.在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【详解】因为而，，所以则故选：C.6.已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，由已知可得，可求得，进而可求球的表面积.【详解】如图，设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，设球与母线切于点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过作，垂足为，则，所以，所以该圆台的表面积为.故选：B.7.在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．【详解】因为是边上的中线，所以，则，由正弦定理得，可得，，所以，而，，所以，因为为锐角三角形，，则，即，所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为．故选：B．8.折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（）A.若，则 B.C. D.若，则【答案】D【解析】【分析】若，可得，两边平方可求得，可判断A；利用，计算可判断B；取的中点，连接，利用，计算可判断C；，计算可判断D.【详解】对于A：若，则可得，两边平方可得，所以，所以，显然，所以，所以，故A正确；对于B：，故B正确对于C：取的中点，连接，则可得，在，易得，所以，所以，故C正确对于D：若，，故D错误.故选：D.【点睛】方法点睛：考查数量积的计算，通常数量积的计算可用定义法，坐标法，转化法求解，本题主要是转化法的应用.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量相等、向量的模、向量的数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，向量，是两个单位向量，因为单位向量的方向不一定相同，故A选项错误；两个单位向量的夹角不一定是，故B选项错误；单位向量的模为1，故C选项正确；因为，所以当，的夹角不为0时，其数量积不等于1，故D选项错误.故选：ABD.10.对于，有如下判断，其中正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则为等腰或直角三角形C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断.【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确；对于B，因为，在中，可得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确；对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确；对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误；故选：ABC.11.已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（）A.球的体积为B.球内接圆柱的侧面积的最大值为C.球在正方体外部的体积小于D.球在正方体外部的面积大于【答案】BCD【解析】【分析】由棱切球的半径为,再依次判断即可.【详解】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：，则内接圆柱的侧面积为：，等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确C.球在正方体外部体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，得内接圆锥的侧面积为：，所以6个球冠的表面积大于，正确故选：BCD【点睛】关键点点睛：D项中球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数______.【答案】【解析】【分析】根据复数的四则运算进行计算可求,再写出其共轭复数即可.【详解】由，可得，所以.故答案为：.13.已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为______.【答案】6【解析】【分析】利用两两所成角相等可得，它们两两向量的夹角是，再由向量的乘法运算，即可求得结果.【详解】由平面向量，，不共线，且两两所成角相等可得，它们两两向量的夹角是，再由，，可得：，，，所以，故答案为：.14.如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度______.【答案】##【解析】【分析】通过三个仰角解三个直角三角形可得三边与高的关系，再利用余弦定理建立一个方程，就可以解得高.【详解】设孔明灯的高度，通过解直角三角形得：在点处测量这个孔明灯的仰角为，则，在点处测量这个孔明灯仰角为，则，在点处测量这个孔明灯的仰角为，则，由基线上靠近的四等分点处有一点，且，则，由余弦定理得：，，又因为，所以，即，可得，所以由，得，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，是虚数单位.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由纯虚数的概念列方程组，求解可得答案；（2）由复数z在复平面对应的点位于第三象限可得，解不等式组可得答案.【小问1详解】因为，所以，从而.【小问2详解】因为，所以，从而.16.如图，在正方体中，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接BD与AC交于点O，根据O，E为为中点，易得,再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得，得到是直角三角形求解.【详解】（1）如图所示：，连接BD与AC交于点O，因为O，E为为中点，所以,又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，则异面直线与所成的角，在正方体中，因为，且，所以平面，又因为平面，所以，所以是直角三角形，设正方体的棱长为a,则，，所以，所以，故答案为：【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．17.如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.（1）试用向量，表示，；（2）若，，求向量，夹角的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则计算出答案；（2）解法一：在（1）基础上，得到，，得到；解法二：建立平面直角坐标系，利用向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】，；【小问2详解】解法一：基底法因为，.，，，所以解法二：建系坐标法，如图建系，则，，，，.，，故，，，所以.18.在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面.（1）当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；（2）当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）应用面面平行的判定定理证明即可；（2）应用面面平行的性质定理得出线线平行再由勾股定理求出二次函数最值计算即得.【小问1详解】因为，分别是线段，的中点，所以.又，从而.因为，平面，平面，所以平面因为平面，又平面，，，平面，所以平面平面【小问2详解】过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接.因为，平面，平面，所以平面，又平面，，，平面，所以平面平面因为平面平面，平面平面，所以.设，，则，，又棱长为2，则.在梯形中，，，时，线段的最小值为.19.在中，角，，的对边分别为，，.若，.（1）若为锐角三角形时，求边的取值范围；（2）求面积的最大值；（3）在（1）的条