第四章 运算方法与运算器

计算机组成原理与系统结构

QY第4章运算方法与运算器

♦定点数的加减运算及实现

会定点数的乘法运算及实现

伞定点数除法运算及实现」

■定点运算器的组成与结构

♦浮点运算及运算器

■浮点运算器举例

BACK

4.1定点数的加减运算及实现

补码加减运算与运算器

机器数的移位运算

移码加减运算与判溢

U!十进制加法运算

QY一、♦补码加减运算与运算器

0补码加减运算方法

6补码加减运算的溢出判断

补码加减运算器的实现

、补码加减运算方法

♦:♦补码的加减运算的公式是：

［X+Y］补=［X］补+［丫］补

［X-Y］补=［X］补+［-丫1补

*华寺点：

■雇用补码进行加减运算，符号位和数值位一样参

加运算。

■补码的减法可以用加法来实现，任意两数之差的

补码等于被减数的补码与减数相反数的补码之和。

5

6求补运算：［Y］补一［一丫］补

♦:♦求补规则：将［Y］补包括符号位在内每一位取反，末

位加1。

♦:♦若［Y］补=YO,Y1……Yn,则：

TO补=丫0丫1……Yn+1

❖若［Y］补=YO.Y1...Yn,贝I］：

［-Y］补=Y。Yi……Yn+0.0……01

中例：［X］补=0.1101,则:［-X］#=10011

金［Y］补=1.1101,贝心［一丫］补=0.0011

6

♦:♦例：已知X=+10W,Y=-0100,用补码计算X+Y和X-Y。

■写出补码:

[X]补=0,1011[Y]^=1,1100

[-丫]补=0,0100

■计舁：

0,1011091011

+1,1100+0,0100

0,0111091111

[X+Y[b=0,0111[X—Y]补=0,1111

©

2、补码加减运算的溢出判断

♦:♦当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计

算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否

则会得到错误的结果。

♦:♦对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）

相加，或者异号（两数）相减。

♦:♦确定发生溢出的情况：

■正数相加，且结果符号位为1；

-负数相加，且结果符号位为0；

■正数一负数，且结果符号位为1；

■负数一正数，且结果符号位为0；

8

常用的判溢方法(补码加减运算)

♦：♦(1)单符号位判溢方法2

■当最高有效位产生的进位和符号位产生的进位不

同时，加减运算发生了溢出。

■V=C1㊉4

(2)双符号位判溢方法

■X和Y采用双符号位补码参加运算，正数的双符号

位为00,负数的双符号位为11;当运算结果的两

位符号Sf2不同时(01或10),发生溢出。

■V=Sf1®Sf2=Xf㊉丫千㊉Cf㊉Sf

■Sf1Sf2=01,则正溢出;Sf1Sf2=10,则负溢出。

9

双符号位判溢方法举例

♦:♦例：用补码计算X+Y和X-Y

■(1)X=+1000,Y=+1001

■(2)X=-1000,Y=1001

凶补00,1000凶补00,1000

+[Y]补00,1001+[・Y]补11,0111

[X+Y]补01,0001[X-YJ411,1111

=

SfiSf2015JE■溢出Sf1Sf2=11?无溢出

凶补11,1000pq补11,iooo

♦[Y]补00,1001+[・Y]补11,0111

[X+Y]补00,0001[X-Y]#10,1111

负溢出

Sf1Sf2=00,无溢出Sf1Sf2=10,

10

3、补码加减运算器

3、补码加减运算器的实现

♦:♦核心部件：一个普通的二进制并行加法器。

❖A：累加器，存放［X］补；B：寄存器，存放［Y］补；

♦:♦取反电路：

*3,SUB=。时，补码加法器，将B寄存器直接送入并

行加法器；_

*■/SUB=1时，补码减法器，4匏送入并行加法器，

同时，并行加法器的最低位产生进位，即B取反加1,

此时并行加法器的运算相当于［A］补力口［-B］补，完成减

法运算。

12

、机器数的移位运算

♦:♦二进制数据（真值）每相对于小数点左移一位，相当

于乘以2；每相对于小数点右移一位，相当于除以2。

♦:♦计算机中的移位运算分为：

・1、逻辑移位：将移位的数据视为无符号数据，各

数据位在位置上发生了变化，导致无符号数据的数

值（无正负）放大或缩小。

■2、算术移位：将移位的数据视为带符号数据（机

器数）。算术移位的结果，在数值的绝对值上进行

放大或缩小，同时，符号位必须要保持不变。

■3、循环移位：所有的数据位在自身范围内进行左

移或者右移，左移时最高位移入最低位，右移时最

低位移入最高位。

13

QY补码的算术移位

♦:♦算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。

■为保证补码算术左移时不发生溢出，移位的数据

最高有效位必须与符号位相同。

■在不发生溢出的前提下，用硬件实现补码的算术

左移时，直接将数据最高有效位移入符号位，不

会改变机器数的符号。

♦:♦算术右移：符号位不变，低位移出，高位正数补0,

负数补1,即高位补符号位。

符号位

fXf-----►X1X2--------►Xn----►

符号位

QY补码的算术移位举例

♦:♦例：设X=0.1001,丫=—0.0101,求

■伏]补=0.1001

■[2x1补=1.0010（溢出）

■[X/21补=0.0100

■[丫]补=1.1011

[2丫1补=1.0110

■[Y/2]补=LUOI

©

QY三、移码加减运算与判溢

篇码和盗码叶管

n

［X］移+［¥］移=2叶X+2+Y=2叶(2n+X+Y)=2n+［X+Y］移

n

［X］移+［-Y］移=2+［X—Y］移［X-Y］移=［X］移+［一Y］抖(mod2前)

♦：♦移码和补码混合计算

nn+1

［X］移+［Y］科=2叶X+”+i+Y="*+(2+X+Y)=2n+】+［X+Y］移=［X+Y］移(mod2)

n+1

［X-Y］移=［耳够+［—Y］科(mod2)

♦:♦移码运算结果判溢：

0XfXix2.......xn

+YfYfYi丫2……Yn

SfiSf2Sis2……sn

16

移码加减运算与判溢

移码运算结果溢出的判断条件是：

■当结果的最高符号位Sf1二1时溢出，Sf1=0时结果

正确。

•Sf1Sf2=10时,结果正溢出；

•Sf1Sf2=W时,结果负溢出。

■由于移码运算用于浮点数的阶码，当运算结果正

溢出时，浮点数上溢；当运算结果负溢出时，浮

点数下溢，当作机器零处理。

17

四、十进制加法运算

♦:♦计算机中的十进制加法器通常采用BCD码设计，在二

进制加法器的基础上，加上适当的校正电路，可以实

现BCD码的加法器。

♦:♦对于8421BCD码来说，当相加的两数之和S>9时，力口6

校正；当SW9时，且无进位时，结果正确，不需校正。

18

4.2定点数的乘法运算及实现

原码乘法及实现

补码乘法及实现

阵列乘法器

一、原码乘法及实现

♦:♦由于计算机的软硬件在逻辑上具有一定的等价性，因

此实现乘除法运算，可以有三种方式：

♦I.用软件实现。

■硬件上：设计简单，没有乘法器和除法器。

■指令系统：没有乘除指令，但有加/减法和移位指

令

■实现：乘除运算通过编制一段子程序来实现

■算法：程序中运用串行乘除运算算法，循环累加、

右移指令一乘法，循环减、左移指令一除法。

■运算速度：较慢。

■适用场合：单片机。

20

一、原码乘法及实现

on.用硬件乘法器和除法器实现。

■硬件上：设置有并行加法器、移位器和若干循环、

计数控制逻辑电路搭成的串行乘除法器。

■指令系统：具有乘除法指令。

■实现：乘除运算通过微程序一级（硬件+微程序）

来实现。

■算法：在微程序中依据串行乘除运算算法，循环累

力口、右移指令一乘法，循环减、左移指令一除法。

■运算速度：有所提高，但硬件设计也相对复杂。

■适用场合：低性能CPU。

21

一、原码乘法及实现

❖III.用高速的阵列乘法器和阵列除法器来实现。

■硬件上：设置有专用的、并行运算的阵列乘法器和

阵列除法器。

■指令系统：具有乘除法指令。

■实现：完全通过硬件来实现。

■算法：并行乘/除法。

■运算速度：很快，但硬件设计相当复杂。

■适用场合：高性能CPU。

22

原码乘法及实现

*1、手工乘法算法

■手工计算1011X1101,步骤：1011

■手工算法：对应每1位乘数求得1项位

积，并将位积逐位左移，然后将所有X1101

的位积一次相加，得到最后的乘积。~~WH

■乘法的机器算法：从乘数的最低位开

始，每次根据乘数位得到其位积，乘0000

数位为0,位积为0,乘数位为1,则

位积为被乘数；用原部分积右移1位1011

加上本次位积，得新部分积；初始部

分积为0。1011

10001111

23

QY二、原码乘法算法

♦:*2、原码一位乘法算法：

假设［X］原=XsX1X2.......Xn,［Y］原二YsY1

Y2……Yn,P=X-Y,Ps是积的符号：

■符号位单独处理ps=Xs㊉Ys

・绝对值进行数值运算|P|二|X|*|Y|

♦:♦例如：X=+1011,Y=-1101,用原码一位乘法计算

P=X'YO

QY举例

部分积乘数Y操作说明

■[X]原二0,1011O,000011O1

・[Y]原=1，1101

+O,1011V4=l，+IX|

■Ps二Xs㊉Ys

O,1011

=0©1=1

右移—位

■|P|二|X|-|Y|O,0101111O

十O,0000V3=0,+0

O,0101

O,OO1O1111右移一位

+0,1011Y2=l，+|x|

O,1101

[P]原=L10001111

O,01101111右移—位

+0,1011V1=1,+Ix|

0001

0,1000右移一位

QH—、原码乘法及实现

3、原码乘法的硬件实现

000001101

27

gY第一次求部分积加运算：+凶000001101

010111101

28

000001101

01011E1101

001011110

29

000001101

010111101

001011110

001011110

30

01011

01011

01011

01011

符号位异或

01011结果为：1,1000111

开始

原码一位乘法流程

结束

36

补码乘法及实现

1、补码乘法算法

(1)补码一位乘法——校正法

假设［X］补=Xo.X1,

［丫］补=丫。4……I，

则有:

［X・Y］补二［知补・(0.Y1……YQ+Y°・［—X］补

37

补码乘法及实现

证明如下：

■当被乘数X的符号任意，Y为正数时：

根据补码定义有：

［X］补=2+X=2n+1+X(mod2)

［Y］补二Y

则：

［X］补・［Y］补=(2田+X)-Y=2田・丫+X-Y

=2n+i・(0.丫1.......Yn)+X・Y

=2-(丫1.......Yn)+X・Y=2+X-Y(mod2)

=［X♦Y］补

即：Y>0时，［X・Y］补二［X］补・［Y］补

二凶补・”……Yn)

38

补码乘法及实现

■当被乘数X的符号任意，Y为负数时：

［Y］补=2+Y=1.丫1……Y”则：

丫=［Y］补一2=0.Y1……Yn-1

［X・Y］补二［X。丫1・・・・・,Yn-X］补

=［X”……Yn］补+［-X］补

因为0.丫1......Yn>0,所以：

［X”……Yn］补=［X］补・”……Yn)

所以：Y<0时，

［X・Y］补二凶补・(0.1・・・・・.Yn)+［—X］补

39

Q＜二、补码乘法及实现

例如：X=+0.1011,Y=-0.1101,用补码一位乘法的校正法计算P二XV。

[X]补=00.1011[Y]^1=11.0011[-X]^1=11.0101

部分积乘数Y操作说明

00.00000011

+00.1011Y4=l,+[X]补

00.1011

00.01011001_右移一位

+00.1011Y3=l,+[X]补

01.0000

00.10000100右移一,位

+00.0000Y2=0,+0[X-Y]^=1.01110001

00.1000

00.01000010右移一位X-Y=-0.10001111

+00.0000Yi=O,+0

00.0100

00.00100001右移一位

+11.0101Vo=i,+[—X]补校lE

11.01110001

例：设X=—0.1101,Y二一0.1011,即:凶补二11.0011,[Y]补=11.0101,求[X*Y]补

部分积乘数说明

00.00000101初始值

+[X]补11.0011+[X]补

11.0011—

右移一位11.1001]C1o右移—M立

+000.0000+0

11.1001—

右移一位1L1100]01右移—位

+[X]补11.0011+DG补

10.1111

右移一位11.0111111o右移--位

+000.0000+0

11.0111

右移一位

右移一位11.101111111

+「—X〕补00.1I01+[-X]补

00.10001111

计算结果:[X*Y]补=0.10001111

补码乘法及实现

♦（2）补码一位乘法----Booth算法

做出如下推导：

［X・Y］补二虫］补・（O.Yi……Yn）+Y°・［—X］补

=凶补・（丫/2一1+丫2・2-2++Y/2-n-Yo）

=［X］补・［Y/（2°-2-1）+Y2-（2-1-2-2）+.......+Yn-（2一村-

2-n）-Y0-20］

二补・［丫。-丫12n+1

［X］*p|1I・21I・2-1+YZ./2--Yz_/2-+.......+Yr'i2--Yr-i2-

n-Y0'20］

二凶补•［（丫厂丫。）・20+（Y2-丫1）・2-1+（Y3-Y2）・2一2+……+

（Yn-YQ51-YQ］

二［X］补・［（丫广丫。）・2。+（Y2-YP・2-1+（Y3-丫2）・2一2+……+

（丫广丫田）-2一,十（丫叼-Yn）-2-］,0

-12n

=凶补・（a0-2°+a/2+a2-2^千二…++an-2-）

其中，将乘数Y的补码在最末位添加一位附加位丫.

（初始为0），aLYj+「Yj,i=0,1,…・・.，n-1,n。.

42

Booth算法的运算规则

假设［Y］补=Y0,Y1……Yn

①被乘数X和乘数Y均以补码的形式参加乘法运算，运算

的结果是积的补码。

②部分积和被乘数X采用双符号位，乘数丫采用单符号位。

③初始部分积为0;运算前，在乘数丫的补码末位后添加

一位附加位Yn+1,初始为0。

④根据YnYn+1的值，按照表4.3进行累加右移操作，右移

时遵循补码的移位规则。

⑤累加n+1次，右移n次，即最后一次不右移。

|表43补码乘法的Booth算法操作表

*操作，

0-lj.+0,右移一位，，

1+［闽斗，右移一位2

b山+［-X］中右移一位，

1-1+0»右移一位c

43

例如：X=+0.1011,Y=-0.1101,用补码一位乘法的Booth算法计算P二XV。

解:[X]补=00.1011[Y]^=11.0011[-X]^=11.0101

部分积乘数Y（丫口丫…）操作说叨

00.00001.0011_0

+

11.0101Y4Y5=10,+[—X]补

11.0101

11.101011.0011右移一位

[X-Y]补=1.01110001

十00.0000Y3Y4=11,+0

11.1010

X-Y=-0.10001111

11.1101011.001右移一位

十00.1011丫2丫3=。1.+[X]补

00.1000

00.0100001100右移一位

+00.0000

YiV2=00,-+-0

00.0100

00.0010D0011,0右移一位

4-11.0101Y°Y『10,+E-x]补

11.01110001

二、补码乘法及实现

2、补码乘法的硬件实现

46

阵列乘法器

孝原理类似于二进制手工算法

■位积的每一位XiYj都可以用一个与门实现，而每

位的相加均可以使用一个全加器来实现。

XXXX

1234

XYYYY

1234_______

XYXYXYXY

14243444

XYXYXYXY

13233343

XYXYXYXY

12223242

+XYXYXYXY

11213141

PPPPPPPP

12345678

47

绝对值阵列乘法器

48

补码阵列乘法器

补码求绝对值电路

先通过一个补码求绝对值的逻辑电路变为绝对值后，

送入绝对值阵列乘法器，运算得到积的绝对值，然后

再通过一个绝对值求补码的逻辑电路，根据积的符号

求出积的补码形式。

49

补码阵列乘法器

50

4.3定点数除法运算及实现

原码除法及实现

补码除法及实现

阵列除法器

QH—、原码除法及实现

1、原码除法算法

♦：♦(D手工除法算法0.1101

■改进手工算法即可适合机器运算：0.1101]0,10110

■计算机通过做减法测试来实现1101

判断：结果大于等于表明够

0,10010

减，曲1;结果小于0,表明不

够减，商0。1101

■计算机将余数左移一位，再直10100

接与不右移的除数相减。1101

X=+0.1011,Y=-0.11010111

X+Y

52

一、原码除法及实现

♦(2)原码恢复余数算法

假设［X］原=Xs.X1X2.......Xn,［丫］原二丫$.丫1

Y2.......Yn,Q是X+Y的同，Qs是陶的符号，R是

X小丫的余数，Rs是余数的符号

■原码除法运算的规则是：

•1.Qs-Xs©Ys,Rs-Xs,|Q|-

|X|+|Y|-|R|+|Y|

•2.余数和被除数、除数均采用双符号位；初

始余数为|X|。

53

一、原码除法及实现

■原码除法运算的规则是：

•3.每次用余数减去|Y|（通过加上［-|丫|］补来

实现），若结果的符号位为0,则够减，上商

1,余数左移一位；若结果的符号位为1,则

不够减，上商0,先加|丫卜1灰复余数，然后余

数左移一位。

•4.循环操作步骤3,共做n+1次，最后一次不

左移，但若最后一次上商0,则必须+|丫卜诙复

余数；若为定点小数除法，余数则为最后计

算得到的余数右移n位的值。

54

被除数/余数商Q操作说明

±1

00.10110000

+11.0011+［-IY|］补

例如：X=+0.1011,11.101100000R0<0,上商。

Y=-0.1101+00.1101+1Y|恢复余数

用原码恢复余数算法计算00.1011

X+Y。

01.011O00000左移一位

解:［X］原=0.10。

+11.0011+［-IY|］补

1101

00.100100001_Ri>0,上商1

|X|=0.1011|Y|=0.1101

01.001000010左移一位

［-［丫|］补=11.0011

+11.0011+Y门补

G)S=Xg㊉丫s=Rg二0

00.010100011_R2>0,上商1

00.101000110—4立

得［Q］原=11101+11.0011+［-1Y］］补

11.110100110R<o,上商0

［R］原=0.000001113

+00.1101+1V|恢复余数

00.1010

01.010001100-4爻

+11.0011+［―IY门补

01101

00.0111R4>0,上商1

一、原码除法及实现

♦：♦（3）原码不恢复余数算法

-又称为加减交替法：当某一次求得的差值（余

数%）为负时，不是恢复它，而是继续求下一位

商，但用加上除数（+|丫|）的办法来取代

（-|Y|）操作，其他操作不变。

■其原理证明如下：

•在恢复余数除法中，若第iT次求商的余数

为RT,下一次求商的余数为用,贝八

R=2R.一|Y|

•如巢R/0,商的第i位上1,并执行操作：

余数左移一位，再减|丫|,得以+1,贝%

Ri+1=2R-|Y|

56

一、原码除法及实现

■如果RRO,商的第i位上0,并执行操作：恢

复余数(+1丫|),将余数左移一位，再减|丫|,

得其过程可用公式表示如下：

Ri+1=2(&+|Y|)-|Y|=2Ri+2|Y|-|Y>2Ri+|Y|

■加减交替法的规则如下：

・余数为正时，商上1,求下一位商的办法，是

余数左移一位，再减去除数；

•当余数为负时，商上0,求下一位商的办法，

是余数左移一位，再加上除数。

•若最后一次上商为0,而又需得到正确余数，

则在这最后一次仍需恢复余数。

57

被除数/余数商Q操作说明

00.10110000

例如：X=+0.1011,

Y=-0.1101,用原码不+11.0011+[-1Y]]补

恢复余数算法计算11.111000000R0<0,上商。

X+Y。11.110000000左—Y立

解：原

[X]=0.1011+00.1101+1Y|

[Y]原=1.1101

00.10010000工Ri>0,上商1

|X|=0,1011

|Y|=0.110101.001000010左—Y立

[-|Y|]补=11.0011+11.0011+[-1Y□补

00.01010001

Qs二Xs㊉Ys-11R2>0,上商1

RS二000.101000110左移一位

+11.0011+[-1Y]]补

11.110100110R3<O,上商。

[Q]原=1.1101

11.101001100左移一位

[R]原=0.00000111+00.1101+1Y|

00.011101101R4>0,上商1

QY—、原码除法及实现

*2、原码除法的硬件实现

A<|X|/余数）Q（商IQI）Qn

7\

左移一位

缓冲骷

z\

QQ

Bi

计数器＜斜＞

并行加法器（n+2位）

=0

控制电路逻辑

7\7\n_n_n_

控制逻相:<>DIV

t

B（除数|Y|）

QY—、原码除法及实现

原码不恢复余数除法流程

计数器减1

补码除法及实现

1、补码除法算法

补码不恢复余数除法的规则。假设［X］补=XS.X1

X2...Xn,［Y］补=YS.Y1Y2...Yn,Q是X+Y的

商，R是余数，则补码除法运算的规则是：

①X和Y以补码形式参加除法运算，商也以补码的形

式产生。余数和被除数、除数均采用双符号位。

②当［X］补与［Y］补同号时,第一次做凶补+［-丫］补操作,

当异号时，第一次做［X］补+［Y］补操作，得到第一

次的部分余数［R0］补。

61

补码除法及实现

补码除法运算的规则是：

③当［Ri］补与［丫］补同号时，上商1,然后余数先左移

一位，珈［-丫］；、得到新余数［Ri+口补；当［Ri］补与

［Y］补异号时，上商0,余数左移T立，力口［丫"卜得

到新余数［Ri+1］补。

④循环操作步骤③，共做n次，得到1位商符和（n-

1）位商的补码数值位，最末位桌用恒置“1”法。

表4.4补码除法的运算操作表

上商

[X]与[Y]商符第一次操作[K]与[Y]下一步操作

真值补码

减法同号（够减）11余数左移一位，+［-Y］

同号0

[X]+[-¥]异号（不够减）00余数左移一位，+［Y］

加法同号（不够减）01余数左移一位，+［-Y］

异号1

[X]+[¥]异号（够减）10余数左移一位，+［Y］

62

补码除法及实现

第二种方法的运算规则为：

①X和Y以补码形式参加除法运算，商也以补码的形

式产生。余数和被除数、除数均采用双符号位。

部分余数初始为［X］补，即［R。］补=［X］补。

②当［Ri］补与［丫］补同号时，上商1,然后余数先左移

一位，加［-丫］补得到新余数［Ri+口补；当［Ri］补与

［Y］补异号时，上商0,余数左移一位，加［-丫］补得

到新余数［Ri+1］补。

③循环操作步骤②，共做n次，得到1位商符和（n-1

位商的补码数值位，最末位采用恒置“1”法。

63

补码除法及实现

X=+0.1011,Y=-0.1101,用补码不恢复余数算法计算

X4-Yo

凶补二00.1011[丫]补二.0011[-Y],,=00.1101

第一种方法