高考数学（理）北师大版单元提分练（集全国各地市模拟新题重组）单元检测七不等式

单元检测七不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x2＋|x|＋2<0的解集是()A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}2．不等式3＋5x－2x2>0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))C．(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(3，＋∞)3．(2018·开封模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则a＋b等于()A．－6B．6 C．－25D．254．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,x＋y≥0，,x≤4，))则z＝2x＋3y的最大值为()A．10B．8 C．5D．25．不等式eq\f(x2＋x－6,x＋1)>0的解集为()A．{x|－2<x<－1或x>3}B．{x|－3<x<－1或x>2}C．{x|x<－3或－1<x<2}D．{x|x<－3或x>2}6．(2018届永州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C，设AC＝a，BC＝b，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为()A．eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)(b>a>0，m>0)B．eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)(a>0，b>0)C．eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)7．已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))8．(2018·烟台模拟)已知a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则mn的最大值为()A．8B．4 C．2D．19．(2017·黔东南州模拟)若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))则z＝eq\r(x2＋y2)的最大值是()A．eq\r(43) B．eq\f(5\r(2),2)C．eq\r(73) D．3eq\r(2)A．1 B．3C．5 D．611．若x，y，a是正实数，且eq\r(x)＋eq\r(y)≤aeq\r(x＋y)恒成立，则a的最小值是()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．2 D．eq\f(1,2)12．已知k≥－1，实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,3x－2y≥6，,y≥k，))且eq\f(y＋1,x)的最小值为k，则k的值为()A．eq\f(2－\r(2),5) B．eq\f(2±\r(2),5)C．eq\f(3－\r(5),2) D．eq\f(3±\r(5),2)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·广东七校联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋2y≤2，))若目标函数z＝x－y的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝________.14．设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y>0，,y≤x，,|x|＋|y|≤1，))则z＝x＋y的最大值为________．15．(2017·深圳调研)若函数f(x)＝x＋eq\f(m,x－1)(m为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m的值为________．16．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝eq\f(1,t)，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则△PBC面积的最小值为____________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．18．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．19.(12分)(2018届河北衡水中学测试)已知函数f(x)＝log4x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，4))的值域是集合A，关于x的不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x＋a>2x(a∈R)的解集为B，集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5－x,x＋1)≥0))))，集合D＝{x|m＋1≤x<2m－1}(m>0)．(1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围；(2)若D⊆C，求实数m的取值范围．20．(12分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N＋)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？21.(12分)(2018届贵阳普通高中摸底)已知函数f(x)＝x＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥6的解集M；(2)记(1)中集合M中元素最小值为m，若a，b是正实数，且a＋b＝m，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋1))的最小值．22．(12分)(2017·衡水中学模拟)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米，圆心角为θ(弧度)的扇形景观水池，其中O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元．(1)当r和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；(2)若要求步道长为105米，则可设计出水池的最大面积是多少？

答案精析1．B[原不等式化为|x|2－|x|－2>0，因式分解得(|x|－2)(|x|＋1)>0，因为|x|＋1>0恒成立，所以|x|－2>0即|x|>2，解得x<－2或x>2.]2．B[∵3＋5x－2x2>0，∴2x2－5x－3<0，即(x－3)(2x＋1)<0，解得－eq\f(1,2)<x<3.故选B.]3．D[∵ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，∴ax2－5x＋b＝0的根为－3,2，且a<0，即－3＋2＝eq\f(5,a)，－3×2＝eq\f(b,a)，解得a＝－5，b＝30，a＋b＝25.故选D.]4．C[作出可行域如图所示：作直线l0：2x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：2x＋3y＝z，当直线l经过点A时，z＝2x＋3y取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,x＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1，))所以点A的坐标为(4，－1)，所以zmax＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C.]5．B[由不等式eq\f(x2＋x－6,x＋1)>0得(x2＋x－6)(x＋1)>0，即(x－2)(x＋1)(x＋3)>0，则相应方程的根为－3，－1,2，由穿根法可得原不等式的解集为{x|－3<x<－1或x>2}．故选B.]6．D[∵OD是半圆的半径，AB＝a＋b为圆的直径，∴OD＝eq\f(a＋b,2)，由△ACD∽△DCB可知，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝eq\r(ab).在Rt△ODC中，OD>CD，即eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，当O与C重合时，eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，故选D.]7．A[因为f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以要求f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的解集，等价于求解f(|2x－1|)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))的解集，等价于求|2x－1|<eq\f(1,3)的解集，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，故选A.]8．B[令f(x)＝0，g(x)＝0，得ax＝4－x，logax＝4－x，因为y1＝ax与y2＝logax的图像关于直线y＝x对称，所以m，n关于两直线y＝x和y＝4－x交点的横坐标对称，则m＋n＝4，所以mn≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))2＝4.]9．C[先根据约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))画出可行域，而z＝eq\r(x2＋y2)表示可行域内的点到原点的距离|OP|，点P为阴影中的动点，在点B处时|OP|最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))可得B(3,8)，当在点B(3,8)时，z最大，最大值为eq\r(32＋82)＝eq\r(73)，故选C.]10．C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤x＋1，,y≤3－x，))根据题意画出可行域，△ABC区域及其边界为满足不等式组的所有点的集合，由z＝|x－3y|得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,3)x＋\f(1,3)z，,y>\f(1,3)x))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,3)x－\f(1,3)z，,y≤\f(1,3)x，))平移直线y＝eq\f(1,3)x，结合图像可知当直线经过B点或A点时，z有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y＝x＋1，,y＝3－x))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即(1,2)为点B的坐标，代入得z＝|x－3y|＝5，又A点坐标为(3,0)，此时z＝|x－3y|＝3.故选C.]11．B[由题意x，y，a是正实数，且eq\r(x)＋eq\r(y)≤aeq\r(x＋y)恒成立，故有x＋y＋2eq\r(xy)≤a2(x＋y)，即a2－1≥eq\f(2\r(xy),x＋y)，由于eq\f(2\r(xy),x＋y)≤eq\f(x＋y,x＋y)＝1(当且仅当x＝y时，取等号)，即a2－1≥1，解得a≥eq\r(2)，则a的最小值是eq\r(2)，故选B.]12．C[画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,3x－2y≥6，,y≥k))表示的平面区域如图，因为eq\f(y＋1,x)＝eq\f(y－－1,x－0)的几何意义是平面区域内的动点P(x，y)与A(0，－1)连线的斜率，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,3x－2y＝6，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,5)，\f(6,5)))，由平面区域的存在可得－1≤k<eq\f(6,5)，所以结合图形可以看出点B(4－k，k)与定点A(0，－1)连线的斜率最小，其最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x)))min＝eq\f(k－－1,4－k)＝eq\f(k＋1,4－k)＝k，解得k＝eq\f(3－\r(5),2)或eq\f(3＋\r(5),2)(舍)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x)))min＝eq\f(3－\r(5),2)，故选C.]

13．1解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，可知当直线y＝x－z经过点B(0,1)时，直线在y轴的截距最大，z最小，即b＝0－1＝－1；当直线y＝x－z经过点A(2,0)时，直线在y轴的截距最小，z最大，即a＝2－0＝2，所以a＋b＝1.14．1解析作出不等式组所表示的可行域如图所示，15．1解析由x>1，可得x－1>0，因为f(x)＝x－1＋eq\f(m,x－1)＋1≥2eq\r(m)＋1，当且仅当x－1＝eq\f(m,x－1)，即x＝1＋eq\r(m)处取得最小值，且为1＋2eq\r(m).所以2eq\r(m)＋1＝3，即m＝1.16.eq\f(3,2)解析以A为坐标原点，AC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则P(1,4)，C(t,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,t)))，直线BC：eq\f(x,t)＋ty＝1，即直线BC：x＋t2y－t＝0，又点P到直线BC的距离d＝eq\f(|1＋4t2－t|,\r(1＋t4))，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×eq\f(|1＋4t2－t|,\r(1＋t4))×eq\r(t2＋\f(1,t2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4t＋\f(1,t)－1))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(4t·\f(1,t))－1))＝eq\f(3,2)，当且仅当4t＝eq\f(1,t)，即t＝eq\f(1,2)时“＝”成立，所以△PBC面积的最小值为eq\f(3,2).17．解设f(x)的最小值为g(a)，对称轴为x＝－eq\f(a,2).(1)当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤eq\f(7,3)，故此时解集为∅；(2)当－eq\f(a,2)∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4.综上，a的取值范围是[－7,2]．18．解(1)因为不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，所以k＝－eq\f(2,5).(2)若不等式的解集为R，即kx2－2x＋6k<0(k≠0)恒成立，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))所以k<－eq\f(\r(6),6)，即k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6))).19．解(1)因为4>1，所以f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，4))上是增加的，所以f(x)min＝log4eq\f(1,16)＝－2，f(x)max＝log44＝1，所以A＝[－2,1]．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x＋a>2x(a∈R)，可得2－(3x＋a)>2x，即－3x－a>x，所以x<－eq\f(a,4)，所以B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4))).又因为A∪B＝B，所以A⊆B.所以－eq\f(a,4)>1，解得a<－4，所以实数a的取值范围为(－∞，－4)．(2)由eq\f(5－x,x＋1)≥0，解得－1<x≤5，所以C＝(－1,5]．因为D⊆C，①当m＋1≥2m－1，即0<m≤2时，D＝∅，满足D⊆C；②当m＋1<2m－1，即m>2时，D≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－1，,2m－1≤5，))解得－2<m≤3，又因为m>2，所以2<m≤3.综上所述，实数m的取值范围为(0,3]．20．解(1)由题意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500，即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,500)))万元，则10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x≤10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,500)))，所以ax－eq\f(3x2,500)≤1000＋2x－x－eq\f(x2,500)，所以ax≤eq\f(x2,250)＋1000＋x，即a≤eq\f(x,250)＋eq\f(1000,x)＋1恒成立，因为eq\f(x,250)＋eq\f(1000,x)≥2eq\r(\f(x,250)×\f(1000,x))＝4，当且仅当eq\f(x,250)＝eq\f(1000,x)，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．

21．解(1)f(x)≥6，即为x＋|x＋2|≥6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－2，,x－x－2≥6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－2，,x＋x＋2≥6，))解得x≥2，∴M＝{x|x≥2}．(2)由(1)知m＝2，即a＋b＝2，且a，b是正实数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1