三角函数的图像和性质（十一大题型＋精准练习）

三角函数的图像和性质（十一大题型＋精准练习）（原卷版）题型归类题型一、五点作图法题型二、函数的奇偶性题型三、函数的周期性题型四、函数的单调性题型五、函数的对称性题型六、函数的定义域、值域（最值）题型七、函数性质的综合应用题型八、根据条件确定解析式⑴知图求式⑵知性质求式题型九、三角函数图像变换题型十、三角函数模型题型十一、正弦型、余弦型函数的零点、极值点问题题型一、五点作图法及函数图像的应用知识要点用五点法作正弦函数和余弦函数的简图⑴在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，，；在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，，．⑵画的图像时，如下表：精准练习1．（2425高三·山东泰安·开学考试）曲线与交点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2425高三·河北·开学考试）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（

）A．11 B．10 C．9 D．84．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．65．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数，则方程在区间上存在实数根的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个6．（2425高三·浙江·开学考试）方程在的根的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2425高三·安徽亳州·开学考试）已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则．8．（2024·陕西·一模）已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有个，题型二、函数的奇偶性知识要点1、为奇函数，则；为偶函数，则；2、为奇函数，则；为偶函数，则；3、为奇函数，则，该函数不可能为偶函数；精准练习1．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（

）B． C． D．2．（多选）（2425高三·江苏南通·阶段练习）下列的函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则“是函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西榆林·二模）将函数的图象向右平移个单位长度得到一个奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2324高一·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（

）A． B． C． D．9．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为．10．（2024·内蒙古赤峰·三模）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值为.题型三、函数的周期性知识要点1、、的周期；的周期；2、、的周期；的周期；精准练习1．（2024·全国·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．（2425高三·贵州黔东南·开学考试）函数的最小正周期为（

）A． B． C．2 D．13．（2324高三·陕西西安·阶段练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．4．（2324高三·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（

）A．4 B．2 C．1 D．5．（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．6．（2022高三·全国·专题练习）若，则（

）A． B． C．0 D．7．（2425高三·北京房山·开学考试）已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（

）A． B． C． D．8．（2024·天津河西·二模）若函数满足对于，，，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．9．（2324高三·安徽·阶段练习）写出同时满足下列条件的函数的一个解析式.．题型四、函数的单调性知识要点1、的单调增区间为，单调减区间为；的单调增区间为，单调减区间为；的单调增区间为，无减区间；2、的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是把看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．精准练习1．（2425高三·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2425高三·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（

）A． B．C． D．3．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．4．（多选）（2324高三·江苏南京·期中）已知函数，则在区间上可能（

）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极值点5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则函数的单调递减区间为.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的最大值为.7．（2425高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为.8．（2425高三·江苏南京·开学考试）若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则.9．（2425高三·安徽·开学考试）已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为．10．（2324高一·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为.11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则函数在上的最大值与最小值的和为.12．（2324高三·山东威海·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是.13．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为．14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且，则．15．（2425高三·北京·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.题型五、函数的对称性知识要点1、的对称轴方程为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；的对称中心为；2、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为精准练习1．（2425高三·山西吕梁·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．2．（2425高三·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）函数的对称中心是（）A． B．，C．， D．，5．（2425高三·湖南永州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（

）A． B． C． D．6．（2324高三·河南·期中）已知函数的图象关于直线，则实数a的值为（

）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣27．（2425高三·甘肃白银·阶段练习）已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（多选）（2425高三·河北邢台·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．是的极大值点9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．10．（2223高三·河南·期末）将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为.11．（2324高一·北京·期中）若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则，.12．（2425高三·四川泸州·开学考试）已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图象关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数m的取值范围为．题型六、函数的定义域、值域（最值）题型七、知识要点假设．①对于，②对于，精准练习1．（2223高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（

）．A． B． C． D．2．（2024·青海·二模）已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2324高二·福建泉州·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（）A． B． C． D．4．（2024·河南新乡·模拟预测）函数的最大值为（

）A． B． C． D．05．（2023·四川·模拟预测）已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（

）A． B． C． D．6.（2425高三·云南大理·开学考试）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2425高三上·福建南平·阶段练习）函数在上的最大值是．8．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为.9．（2425高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为．题型七、函数性质的综合应用知识要点1、相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为；2、在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系.精准练习1．（2425高三·云南昆明·阶段练习）函数，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（

）A． B． C． D．或2．（2425高三·四川达州·开学考试）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2425高三·广东·开学考试）已知函数与，则下列说法错误的是（

）A．与存在相同的对称轴B．与存在相同的对称中心C．与的值域相同D．与在上有相同的单调性4．（多选）（2024·湖南益阳·一模）已知函数，则下列结论成立的是（

）A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称C．点是曲线的对称中心 D．在上单调递增5．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数，则（

）A．是周期为的周期函数 B．点是函数图象的对称中心C．的最大值为 D．直线是函数图象的对称轴6．（多选）（2024·四川·一模）已知函数的最小正周期为，则（

）A．的最大值为2B．在上单调递增C．的图象关于点中心对称D．的图象可由的图象向右平移个单位得到7.（多选）（2425高三·河北张家口·开学考试）已知函数，周期为，且满足，则（

）A．B．向右平移个单位变为偶函数C．在区间上单调递减D．在上有两个不相等的实数解8．（多选）（2023·河北·三模）已知函数在的图像大致如下图，则（

）

A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象9．（多选）（2425高三·江西·开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．与的零点相同 D．与的单调递增区间相同10．（多选）（2425高三上·江西九江·开学考试）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．与有相同的最小值C．直线为图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像11．（多选）（2425高三·广东汕头·开学考试）函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且，下列叙述正确的是（

）A．函数的解析式为B．的一个对称中心，且在上单调递减C．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称且D．对任意，恒成立时，满足条件的a值可为112．（多选）（2425高三·河北保定·开学考试）已知函数在上有最大值，无最小值，则（

）A．为奇函数B．在上单调递增C．是离轴距离最近的对称轴D．的最小正周期为13．（多选）（2425高三上·江苏常州·开学考试）已知函数图像的一条对称轴是，则（

）A．的最小正周期为B．C．函数图像的一个对称中心为D．若函数在上单调递减，则14．（2023·河南周口·模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增．在区间上单调递减，则的最大值为．题型八、根据条件确定解析式知识要点⑴知图求式（已知三角形函数的部分图像，求函数解析式）：利用函数的最值确定，利用函数的周期确定，利用特殊点确定.⑵知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）精准练习1．（多选）（2425高三·湖南衡阳·开学考试）已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（

）

A．关于对称B．关于点对称C．在区间上单调递增D．在区间上的最大值为32．（多选）（2425高三·辽宁沈阳·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则3．（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为4．（多选）（2425高三·山东烟台·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，令，则（

）A．的一个对称中心是B．的对称轴方程为C．在上的值域为D．的单调递减区间为5．（2425高三·四川泸州·开学考试）函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点，则函数的图象的对称轴方程为（

）A．B．C．D．6．（2425高三·江西南昌·开学考试）如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（

）A． B．C． D．7．（2425高三·河北秦皇岛·开学考试）如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（

）

A． B． C． D．8．（2425高三·山西大同·开学考试）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A．－4 B．－2 C．4 D．29．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，，则（

）A． B． C． D．10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（

）A． B． C． D．12．（多选）（2024·山西太原·一模）如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（

）A．的图象不关于直线对称B．的最小正周期为C．的图像关于原点对称D．在单调递减13．（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知函数，对于任意，有，则（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上共有6个极值点14．（多选）（2223高三上·河北唐山·开学考试）已知函数，曲线关于点中心对称，则（

）A．的最小正周期是B．在上递增C．在上有2个极值点D．曲线关于直线对称15．（多选）（2425高三·湖南长沙·开学考试）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．的表达式可以写成B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C．的对称中心（，1），D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则16．（2425高三·北京·开学考试）若函数的部分图象如图所示，则的值是17．（2324高三·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论：①关于点对称；

②关于直线对称；③在区间上单调递减；④在区间上的值域为.正确结论的序号为.题型九、三角函数图像变换知识要点由函数的图像变换为函数的图像．方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．的图像的图像的图像的图像.精准练习1．（2425高三·辽宁沈阳·开学考试）函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（

）A． B． C． D．2．（2024·四川德阳·模拟预测）把函数图象上所有点先向左平移个单位长度，再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（

）．A． B．C． D．4．（2425高三·浙江·开学考试）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的后，得到函数的图象.则（

）A． B． C． D．5．（2223高三·贵州黔东南·开学考试）若函数的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可能为（

）A． B． C． D．6．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．47．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．8．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2425高三·云南·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（

）A． B． C． D．10．（2425高三·浙江·开学考试）已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（

）个单位长度后可以得到的图象A． B． C． D．11.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（

）A． B． C． D．12．（多选）（2425高三·广西贵港·开学考试）将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A．为偶函数B．的最小正周期为C．与在上均单调递减D．函数在上有5个零点13．（多选）（2425高三·贵州·开学考试）已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（

）A．B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C．的图象关于点对称D．在上单调递增14．（2425高三·全国·阶段练习）将函数向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最接近的对称中心的坐标是15．（2024·四川达州·二模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.若，则的最小值为.16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则．题型十、三角函数模型知识要点三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．精准练习1．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（

）A． B．C． D．3．（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．质点在内的位移图象为单调递减D．质点在内走过的路程为4．（2324高一·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（

）

A． B．C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（

）

A． B．C． D．6．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．7．（2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：音宫商角徵羽频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（

）A．宫 B．商 C．角 D．徵8．（多选）（2425高三·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（

）A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：009．（多选）（2024·福建·模拟预测）小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（

）A． B．C． D．10．（多选）（2024·云南曲靖·二模）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，水面在筒车圆弧内的宽度为.记筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：，在水面以下时），若在盛水筒某次刚出水面时开始计时，时间用（单位：）表示，则下列说法正确的是（

）A．与之间的函数关系是B．与之间的函数关系是C．时间恰好到1小时时，水筒处在水面以下D