黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025届九上数学开学考试模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共8页黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025届九上数学开学考试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于（）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm2、（4分）如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（）A． B． C． D．3、（4分）正方形的边长为，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为()A． B． C． D．4、（4分）已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设A． B． C． D．5、（4分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为（）A．1.02×10﹣7m B．10.2×10﹣7m C．1.02×10﹣6m D．1.0×10﹣8m6、（4分）中，，则一定是（）A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形7、（4分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（）A．AO＝OD B．EF＝AD C．S△AEO＝S△AOF D．S△ABC＝2S△AEF8、（4分）在□ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若□ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为（）．A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝4，BC＝3，则AE+EF的长为_____．10、（4分）若x+y﹣1＝0，则x2+xy+y2﹣2＝_____．11、（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_____．12、（4分）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．13、（4分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，四边形是正方形，点是边上的任意一点，于点，，且交于点，求证：（1）（2）15、（8分）某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．（1）求活动中典籍类图书的标价；（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．16、（8分）如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是点E，F，AE=CF．求证：AB∥CD．17、（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB，（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠CDB=45°，BD=2，求AC的长．18、（10分）如图，在□ABCD中，∠ADB=90°，点E为AB边的中点，点F为CD边的中点．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）当∠A等于多少度时，四边形DEBF是正方形？并说明你的理由．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）将点先向左平移6个单位,再向下平移4个单位得到点,则的坐标是__．20、（4分）如图，将△ABC向右平移到△DEF位置，如果AE＝8cm，BD＝2cm，则△ABC移动的距离是___．21、（4分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，AC=8，AB=5，则菱形ABCD的面积是_________．22、（4分）如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，则___________度；如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为_________．23、（4分）当分式有意义时，x的取值范围是__________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，P、Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形）（1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB，（2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.25、（10分）如图所示．在Rt△ABC中，AB＝CB，ED⊥CB，垂足为D点，且∠CED＝60°，∠EAB＝30°，AE＝2，求CB的长．26、（12分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】解：由题意得，∵△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC的一半∴位似比为2∴S△ABC=4S△A′B′C=24cm2，∴AB边上的高等于6cm．故选B．2、D【解析】

过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值．【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°∵∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE∽△OBF∽△AOD又∵，∴，∴，∴∵点在反比例函数的图象上∴∴∴，解得k=±8又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D．本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．3、D【解析】

作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形，计算GH和BH的长，可解答．【详解】解：过G作GH⊥x轴于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，

∵四边形AEFG是正方形，AE=AB=2，

∴∠EAG=90°，AG=2，

∴∠HAG=45°，∵∠AHG=90°，

∴AH=GH=，

∴G（，2+），

故选：D．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，掌握等腰直角三角形各边的关系是关键，理解坐标与图形性质．4、C【解析】

反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.【详解】已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以故选C本题考核知识点：反证法.解题关键点：理解反证法的一般步骤.5、A【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000000102m＝1.02×10﹣7m；故选A．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6、B【解析】

根据等腰三角形的判定方法，即可解答.【详解】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B正确.此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.7、D【解析】

根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．【详解】解：

∵EF是Rt△ABC的中位线，

∴EFBC,∵AD是斜边BC边上的中线，

∴AD=BC，

∴EF=AD，故选项B正确；

∵AE=BE，EO∥BD，

∴AO=OD，故选项A正确；

∵E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，

∴EO=BD，OF=DC，

∵BD=CD，

∴OE=OF，

又∵EF∥BC，

∴S△AEO=S△AOF，故选项C正确；

∵EF∥BC，

∴△ABC∽△AEF，

∵EF是Rt△ABC的中位线，

∴S△ABC：S△AEF=4：1，

即S△ABC=4S△AEF≠2S△AEF，故选D错误，

故选：D．本题考查了三角形中位线定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质以及全等三角形的判断和性质，证明EO，OF是三角形的中位线是解题的关键．8、C【解析】

由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵▱ABCD的周长22厘米，∴AD+CD=11，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm．

故选：C．此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】

先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出计算结果．【详解】解：∵点E，F分别是的中点，∴FE是△BCD的中位线，.又∵E是BD的中点，∴Rt△ABD中，，故答案为1．本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10、【解析】将变形为，然后把已知条件变形后代入进行计算即可．解：原式=，把x+y-1变形为x+y=1代入，得原式=．“点睛”本题考查了代数式求值，正确的进行代数式的变形是解题的关键．11、【解析】

把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．【详解】解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+(1+1)2＝5，∴AB＝．故答案为本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．12、1．【解析】

首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；∵S△BCD＝BC•CD＝1，∴S阴影＝1．故答案为1．本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．13、1.2【解析】分析:先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．详解:∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，∴(10+9+a+12+9)÷5=10，解得：a=10，∴这组数据的方差是15[(10−10)²+(9−10)²+(10−10)²+(12−10)²+(9−10)²]=1.2.故选B.点睛:本题考查方差和平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见详解；（2）见详解.【解析】

（1）证明△AED≌△BFA即可说明DE=AF；（2）由△AED≌△BFA可得AE=BF，又AFAE=EF，所以结论可证．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAE+∠BAF=90°．

∵∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠DAE=∠ABF．

又∠AED=∠BFA．

∴△AED≌△BFA（AAS）．

∴DE=AF；

（2）∵△AED≌△BFA，

∴AE=BF．

∵AF-AE=EF，

∴AF-BF=EF．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决此类问题一般是通过三角形的全等转化线段．15、（1）典籍类图书的标价为1元；（2）折叠进去的宽度为2cm【解析】

（1）设典籍类图书的标价为元，根据购买两种图书的数量差是10本，列出方程并解答；（2）矩形面积＝（2宽+1+2折叠进去的宽度）×（长+2折叠进去的宽度）．【详解】（1）设典籍类图书的标价为元，由题意，得﹣10＝．解得x＝1．经检验：x＝1是原分式方程的解，且符合题意．答：典籍类图书的标价为1元；（2）设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，化简得y2+26y﹣56＝0，∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），答：折叠进去的宽度为2cm．考查了分式方程和一元二次方程的应用，（2）题结合了矩形面积的求法考查了图形的折叠问题，能够得到折叠进去的宽度和矩形纸的长、宽的关系，是解决问题的关键．16、证明见解析.【解析】

由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证，所以通过证∠A=∠C，那么就需证明这两个角所在的三角形全等．【详解】如图，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°．又∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△AFB与△CED中，∴△AFB≌△CED（SAS）．∴∠A=∠C．∴AB∥CD．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.17、（1）证明见解析；（2）AC=2．【解析】

(1)证明四边形DBCF的两组对边分别平行；(2)作CM⊥BF于F，△CFM是等腰直角三角形，求出CM的长即可得到AC的长.【详解】解：(1)证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∴∠AEB=∠FCA=90°，∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB．∴CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF=BD=2，∠F=∠CDB=45°，∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM=CF=，∴AE=CE=，∴AC=2．18、（1）见解析；（2）45°【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四边形DEBF是平行四边形，求出DE=BE，根据菱形的判定得出即可；（2）求出AD=BD，根据等腰三角形的性质得出DE⊥AB，根据正方形的判定得出即可．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∵点E为AB边的中点，点F为CD边的中点，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点，∴DE=BE=AE，∴四边形DEBF是菱形；（2）当∠A=45°，四边形DEBF是正方形．理由如下：∵∠ADB=90°，∠A=45°，∴∠A=∠ABD=45°，∴AD=BD．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，即∠DEB=90°．∵四边形DEBF是菱形，∴四边形DEBF是正方形．点睛：本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

根据向上平移，纵坐标加，向左平移，横坐标减进行计算即可．【详解】解：将点A（4，3）先向左平移6个单位，再向下平移4个单位得到点A1，则A1的坐标是（4-6，3-4），即（-2，-1），故答案为：（-2，-1）．本题考查了点的坐标平移，根据上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，熟记平移规律是解题的关键．20、3cm.【解析】

根据平移的性质，对应点间的距离等于平移距离求出AD、BE，然后求解即可．【详解】∵将△ABC向右平移到△DEF位置，∴BE＝AD，又∵AE＝8cm，BD＝2cm，∴AD＝cm．∴△ABC移动的距离是3cm，故答案为：3cm.本题考查了平移的性质，熟记对应点间的距离等于平移距离是解题的关键．21、21【解析】

连接BD交AC于点O，已知AC即可求AO，菱形对角线互相垂直，所以△AOB为直角三角形，根据勾股定理即可求BO的值，即可求BD的值，根据AC、BD可以求菱形ABCD的面积．【详解】如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO．∵AC=8，∴AO=1．在Rt△AOB中，BO3，∴BD=2BO=6，∴菱形ABCD的面积为S6×8=21．故答案为：21．本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求BO的值是解题的关键．22、462.1【解析】

先利用三角形外角性质得∠ACA′=∠A+∠B=67°，再根据旋转的性质得∠BCB′=∠ACA′=67°，然后利用平角的定义计算∠ACB′的度数；由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF为41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．．【详解】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，∴∠BCB′=∠ACA′=67°，∴∠ACB′=180°-67°-67°=46°．∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=41°，∴∠FDM=∠EDF=41°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=4，∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，∵EB=AB-AE=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2，解得：x=2.1，∴FM=2.1．故答案为：46；2.1．本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的综合应用．解题的关键是掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23、【解析】

分式有意义的条件为，即可求得x的范围．【详解】根据题意得：，解得：.答案为：本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】

（1）利用方格纸的特点及几何图形的计算方法，利用割补法，把四边形PAQB的面积转化为△PAQ与△PBQ的面积之和，根据两个三角形的底PQ一定时，要使面积最