第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义- 高三一轮复习

PAGE14-第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.【微点拨】(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0【微点拨】利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.若两平面的法向量平行,则两平面平行B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行C.若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行D.若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行【解析】选AB.易知AB正确;C中向量a和b所在的直线可能重合;D中a所在的直线可能在平面内.2.(选择性必修一P30例3·变形式)平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】选C.因为α∥β,所以两平面的法向量平行,所以-21=-42=k-3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有()A.l∥α B.l⊥αC.l与α斜交 D.l⊂α或l∥α【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.4.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=-2,1,1A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=1,0,2,所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.【巧记结论·速算】1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.【即时练】两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是________.

【解析】因为v2=-2v1,所以v1∥v2.又l1与l2不重合,所以l1∥l2.答案:平行【核心考点·分类突破】考点一利用空间向量证明平行问题角度1线面平行[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),则AC=(x0,y0-2,-2).因为AQ=3QC,所以Q34因为M为AD的中点,所以M(0,2,1).又因为P为BM的中点,故P0,所以PQ=34又因为平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故PQ·a=0.又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.角度2面面平行[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).因为EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),所以BC=2EF,所以BC∥EF.又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.【解题技法】利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行常用的方法:①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;②证明两个平面的法向量平行;③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.【对点训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【证明】建立空间直角坐标系如图,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,则n1⊥DAn得x1令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为FC1·n1=-2+2=0,所以FC1又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,由n2⊥FC得x2=0z2=-2y2所以n2=(0,-1,2),因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.考点二利用空间向量证明垂直问题角度1线线、线面垂直[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1),B(1,0,0).(1)因为∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.所以C(12,32,0),E(14,34设D(0,y,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即y=233,则D所以CD=-12,36,0.又因为AE=(所以AE·CD=-12×14+36所以AE⊥CD,即AE⊥CD.(2)(方法一)由(1)知,D0,23所以PD=0,又因为AE·PD=34×233所以PD⊥AE,即PD⊥AE.因为AB=(1,0,0),所以PD·AB=0.所以PD⊥AB.又因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE.(方法二)由(1)知,AB=(1,0,0),AE=(14,34,1设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x=0令y=2,则z=-3,所以n=(0,2,-3)为平面ABE的一个法向量.因为PD=0,233,-1,因为PD∥n,所以PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.角度2面面垂直[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),所以AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0).所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125)所以BM=BA+AM=-4则AP·BM=(0,3,4)·-4所以AP⊥BM,即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,所以AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.【解题技法】利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示【对点训练】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3).所以BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).因为BD·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,所以PA⊥BD,所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M12因为DM=32,0,3所以DM·PB=32×1+0×0+32×(-所以DM⊥PB,即DM⊥PB.因为DM·PA=32×1+0×(-2)+32×(-所以DM⊥PA,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.考点三与平行、垂直有关的综合问题[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.【解析】(1)由折叠的性质得CD⊥DE,A1D⊥DE.又因为CD∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.又因为A1C⊂平面A1CD,所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE.建系如图,则C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,23),E(-2,2,0),B(0,3,0),所以A1B=(0,3,-23),A1E设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则A1B·n取z=3,则x=-1,y=2,所以n=(-1,2,3)为平面A1BE的一个法向量.又因为M(-1,0,3),所以CM=(-1,0,3),所以cos<CM,n>=CM·n|CM||所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.(2)假设线段BC上存在点P满足条件,设P点坐标为(0,a,0),a∈[0,3],所以A1P=(0,a,-23),DP=(2,a设平面A1DP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则ay取y1=6,则x1=-3a,z1=3a,所以n1=(-3a,6,3a).若平面A1DP与平面A1BE垂直,则n1·n=0,所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.因为0≤a≤3,所以a=-2舍去.所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.【解题技法】1.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.2.解决折叠问题的关键解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.【对点训练】如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【解析】(1)连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD