2025届江西省赣州市宁都县第三中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2025届江西省赣州市宁都县第三中学高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有人，到过井冈山研学旅行的人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A. B.C. D.2．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分C.圆 D.不完整的圆3．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）A. B.C. D.4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.5．若，则（）A.1 B.0C. D.6．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．数列满足，对任意，都有，则（）A. B.C. D.8．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）A. B.C. D.9．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：①点的横坐标为定值a；②离心率；③；④当轴时，上述结论正确的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④11．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B.C. D.12．等比数列的各项均为正数，且，则（）A.5 B.10C.4 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______14．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.15．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______16．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则________；这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；（3）求的值（精确到1）.18．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和19．（12分）设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.20．（12分）已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为（1）求椭圆标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：21．（12分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：年份201220132014201520162017201820192020年份代码x123456789盈利y（百万）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）参考数据及公式：，，，，，统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，根据题意求出的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数.【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，由题意可得，解的，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为.故选：B.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.2、D【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，又面面，故可得；因为，故可得，则，综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，在平面中，因为，以中点为坐标原点，以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：因为，故可得，整理得：，故动点的轨迹是一个圆；又当三点共线时，几何体不是空间几何体，故动点的轨迹是一个不完整的圆.故选：.【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.3、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列，，所以.故选：D4、C【解析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.5、C【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.【详解】，当且时，，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.6、A【解析】由，当三点共线时，取得最值【详解】设是椭圆的右焦点，则又因为，，所以，则故选：A7、C【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】由，得，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8、A【解析】由题意可得，所给的椭圆中的，的值求出的值，进而判断所给命题的真假【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即，即，中，，，所以，故，所以正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；故选：9、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.10、C【解析】利用双曲线的定义、几何性质以及题意对选项逐个分析判断即可【详解】对于①，设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a，所以①正确，对于②，因为，所以，化简得，即，解得，因为，所以，所以②正确，对于③，设的内切圆半径为，由双曲线的定义可得，，因为，，所以，所以，所以③正确，对于④，当轴时，可得，此时，所以，所以④错误，故选：C11、A【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.12、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、相交【解析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.【详解】化为，化为，则两圆圆心分别为：，，半径分别为：，圆心距为，，所以两圆相交.故答案为：相交.14、【解析】求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.【详解】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，点M为三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱锥体积的最大值故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.15、4【解析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案.【详解】由题意：抛物线的准线为，设点P的纵坐标为，由抛物线定义可得，解得，所以点P的纵坐标为4.故答案为：416、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得：这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根据题意，建立递推关系即可；（2）利用待定系数法求解得.（3）利用等比数列求和公式，结合已知数据求解即可.【小问1详解】解：因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，所以，且.【小问2详解】解：将化成，因为所以比较的系数，可得，解得.所以（1）中的递推公式可以化为.【小问3详解】解：由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则.所以.18、（1）；（2）【解析】（1）设数列的公差为d，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根据分组求和法即可求出答案【详解】解：（1）设数列的公差为d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题19、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当吋，，在单调递减，单调递增.综上所述，当吋，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.【小问2详解】由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解综上，.【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.20、（1）；（2）证明见解析【解析】(1)由可求出，结合离心率可知，进而可求出，即可求出标准方程.(2)由题意知，，则由直线的点斜式方程可得直线的解析式为，与椭圆进行联立，设，，结合韦达定理可得，从而由斜率的计算公式对进行整理化简从而可证明.【详解】（1）解：因为，所以．又因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程是（2）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，代入椭圆方程，得设，，则．又因为，，所以【点睛】关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用表示交点横坐标的和与积，从而代入进行整理化简.21、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性（2），7.25百万元【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可