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文档简介

2025届吉林市第一中学数学高二上期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的右焦点为F,则点F到其一条渐近线的距离为()A.1 B.2C.3 D.42.关于的不等式的解集为()A. B.C.或 D.3.对于两个平面、,“内有三个点到的距离相等”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则b等于()A. B.2C. D.45.在中,若,,,则此三角形解的情况为()A.无解 B.两解C.一解 D.解的个数不能确定6.甲烷是一种有机化合物,分子式为,其在自然界中分布很广,是天然气、沼气的主要成分.如图所示的为甲烷的分子结构模型,已知任意两个氢原子之间的距离(H-H键长)相等,碳原子到四个氢原子的距离(C-H键长)均相等,任意两个H-C-H键之间的夹角为(键角)均相等,且它的余弦值为,即,若,则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为()A. B.C. D.7.已知数列满足,则()A.32 B.C.1320 D.8.某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量,数据如下:年度项目2017年2018年2019年2020年独立用户访问总量(单位:个)2512573924400060989网站总访问量(单位:次)23435370348194783219288下列表述中错误的是()A.2017年至2018年,两项访问量都增长幅度较大;B.2018年至2019年,两项访问量都有所回落;C.2019年至2020年,两项访问量都又有所增长;D.从数据可以看出,该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势9.上海世博会期间,某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示,那么在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,入园人数最多的时段是()A.13时~14时 B.16时~17时C.18时~19时 D.19时~20时10.焦点坐标为(1,0)抛物线的标准方程是()A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y11.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点、是锐角的一边上的两点,试在边上找一点,使得最大的.”如图,其结论是:点为过、两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决一下问题:在平面直角坐标系中,给定两点,,点在轴上移动,当取最大值时,点的横坐标是()A.B.C.或D.或12.若存在过点(0,-2)的直线与曲线和曲线都相切,则实数a的值是()A.2 B.1C.0 D.-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若在上是增函数,则实数的取值范围是________14.已知向量,向量,若,则实数的值为________.15.已知O为坐标原点,抛物线C:的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且,若,则______.16.抛物线的焦点坐标是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,椭圆C上点M满足(1)求椭圆C的标准方程:(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P,Q两点,求线段PQ长为时直线l的方程18.(12分)如图,水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽,水面高度恰为正方体棱长的一半,在该正方体侧面有一个小孔(小孔的大小忽略不计)E,E点到CD的距离为3,若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上).(1)证明图2中的水面也是平行四边形;(2)当水恰好流出时,侧面与桌面所成的角的大小.19.(12分)(1)叙述正弦定理;(2)在△中,应用正弦定理判断“”是“”成立的什么条件,并加以证明.20.(12分)已知椭圆的中心在原点,焦点为,,且长轴长为4.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆相交于A,两点,求弦长.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在区间上有唯一的零点.(ⅰ)求的取值范围;(ⅱ)证明:.22.(10分)已知函数(Ⅰ)若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点,求的取值范围;(Ⅱ)当时,求的最值

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标,再写一渐近线方程,根据点到直线的距离公式可得答案.【详解】双曲线的右焦点F坐标为,根据双曲线的对称性,不妨取一条渐近线为,故点F到渐近线的距离为,故选:A2、C【解析】求出不等式对应方程的根,结合不等式和二次函数的关系,即可得到结果.【详解】不等式对应方程的两根为,因为,故可得,根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为或.故选:C.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解,属基础题.3、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性:若内有三个点到的距离相等,当这三个点不在一条直线上时,可得;当这三个点在一条直线上时,则、平行或相交,故充分性不成立;必要性:若,则内每个点到的距离相等,故必要性成立,所以“内有三个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选:B.4、A【解析】由正弦定理求解即可.【详解】因为,所以故选:A5、C【解析】求出的值,结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理可得可得,因为,则,故为锐角,故满足条件的只有一个.故选:C.6、A【解析】利用余弦定理求得,计算出正四面体的高,从而计算出正四面体的体积.【详解】设,则由余弦定理知:,解得,故该正四面体的棱长均为由正弦定理可知:该正四面体底面外接圆的半径,高故该正四面体的体积为故选:A7、A【解析】先令,求出,再当时,由,可得,然后两式相比,求出,从而可求出,进而可求得答案【详解】当时,,当时,由,可得,两式相除可得,所以,所以,故选:A8、D【解析】根据表格数据,结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A:2017年至2018年,两项访问量分别增长、,显然增长幅度相较于后两年是最大的,正确;B:2018年至2019年,两项访问量相较于2017年至2018年都有回落,正确;C:2019年至2020年,两项访问量分别增长、,正确;D:由B分析知,该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落,而不是逐年增长态势,错误.故选:D.9、B【解析】要找入园人数最多的,只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知,在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,图象变化最快的为16到17点之间故选:B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用,属于基础题.10、B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),结合焦点坐标求得p,则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),由焦点坐标为(1,0),得,即p=2∴抛物的标准方程是y2=4x故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题11、A【解析】根据米勒问题的结论,点应该为过点、的圆与轴的切点,设圆心的坐标为,写出圆的方程,并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解:设圆心的坐标为,则圆的方程为,将点、的坐标代入圆的方程得,解得或(舍去),因此,点的横坐标为,故选:A.12、A【解析】在两曲线上设切点,得到切线,又因为(0,-2)在两条切线上,列方程即可.【详解】的导函数为,的导函数为,若直线与和的切点分别为(,),,∴过(0,-2)的直线为、,则有,可得故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据函数在上是增函数,分段函数在整个定义域内单调,则在每个函数内单调,注意衔接点的函数值.【详解】解:因为函数在上是增函数,所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数,对于函数在上是增函数,则;①对于函数,(1)当时,,外函数为定义域内的减函数,内函数在上是增函数,根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数,不符合题意,故舍去,(2)当时,外函数为定义域内的增函数,要使函数在区间上是增函数,则内函数在上也是增函数,且对数函数真数大于0,即在上也要恒成立,所以,又,所以,②又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足:,化简得,③由①②③得,,所以实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】方法点睛:利用单调性求参数方法如下:(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;(2)需注意若函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值14、2【解析】根据,由求解.【详解】因为向量,向量,且,所以,解得,故答案为:215、3【解析】先求点坐标,再由已知得Q点坐标,由列方程得解.【详解】抛物线:()的焦点,∵P为上一点,与轴垂直,所以P的横坐标为,代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点,且,所以Q在F的右侧,又,,,因为,所以,,所以3故答案为:3.16、【解析】将抛物线的方程化为标准形式,即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程,焦点坐标为,且,所以焦点坐标为,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)依题意可得,即可求出、,即可求出椭圆方程;(2)首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在,设直线方程为、、,联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,再根据弦长公式得到方程,求出,即可得解;【小问1详解】解:依题意,解得,所以椭圆方程为;【小问2详解】解:当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,不符合题意;所以直线的斜率存在,设直线方程为,则,消元整理得,设,,则,,所以,即,解得,所以直线的方程为;18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由水的体积得出,进而得出,,从而证明图2中的水面也是平行四边形;(2)在平面内,过点作,交于,由四边形是平行四边形,得出侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角,再由直角三角形的边角关系得出其夹角.【小问1详解】由题意知,水的体积为,如图所示,设正方体水槽倾斜后,水面分别与棱,,,交于,,,,则,水的体积为,,即,,故四边形为平行四边形,即,且又,,,四边形为平行四边形,即图2中的水面也是平行四边形;【小问2详解】在平面内,过点作,交于,则四边形是平行四边形,,,侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角,即侧面与平面所成的角,即为所求,而,在中,,侧面与桌面所成角的为19、(1)正弦定理见解析;(2)充要条件,证明见解析【解析】(1)用语言描述正弦定理,并用公式表达正弦定理(2)利用“大角对大边”的性质,并根据正弦定理进行边角互化即可【详解】(1)正弦定理:在任意一个三角形中,各边和它所对角的正弦值之比相等且等于这个三角形外接圆的直径,即.(2)是充要条件.证明如下:充分性:又故有:必要性:又综上,是的充要条件20、(1)(2)【解析】(1)由已知直接可得;(2)联立方程组求出A,两点坐标,再由两点间距离公式可得.【小问1详解】∵椭圆的中心在原点,焦点为,且长轴长为4,,,,故椭圆的方程为;【小问2详解】设,联立解得和,,∴弦长.21、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析.【解析】(1)求出,,利用导数的几何意义即可求得切线方程;(2)(ⅰ)根据题意对参数分类讨论,当时,等价转化,且构造函数,利用零点存在定理,即可求得参数的取值范围;(ⅱ)根据(ⅰ)中所求得到与的等量关系,求得并构造函数,利用导数研究其单调性和最值,则问题得证.【小问1详解】当时,,则,故,,则曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】(ⅰ)因为,故可得,因为,则当时,,则,无零点,不满足题意;当时,若在有一个零点,即在有一个零点,也即在有一个零点,又,则单调递增,则只需,解得.综上所述,若在区间上有唯一的零点,则;(ⅱ)由(ⅰ)可知,若在区间上有唯一的零点,则,也即,则,令,则,又在都是单调增函数,故是单调增函数,又,故,则在单调递增,则,故,即证.【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的零点以及最值;处理问题的关键是合理转化函数零点问题,以及充分利用零点存在定

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