2025届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2025届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高二上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（）A. B.C. D.2．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）A.6 B.8C.10 D.123．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.304．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（）A.128 B.64C.16 D.325．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.16．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C.或 D.7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.8．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为()A. B.C. D.9．若，则（）A B.C. D.10．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.6 B.12C.56 D.7811．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.12．与向量平行，且经过点的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________14．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为__________.15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________16．已知原命题为“若，则”，则它的逆否命题是__________（填写”真命题”或”假命题”）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4（1）求抛物线C的方程（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19．（12分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.20．（12分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）年月初，浙江杭州、宁波、绍兴三地相继爆发新冠肺炎疫情．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取件口罩进行检测，其结果如表：测试分数数量（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；（2）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率22．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】计算出肉馅包子和豆沙馅包子的个数，即可求得素馅包子的个数.【详解】由题意可知，肉馅包子的个数为，从中随机取出个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为，所以，豆沙馅包子的个数为，因此，素馅包子的个数为.故选：C.2、D【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算【详解】由得焦点，准线方程为，设，，由得则，化简得所以故选：D3、C【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.故选：C4、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C5、B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B6、D【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.7、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.8、B【解析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.【详解】由题意，，，，，，到直线的距离为.故选：B.9、D【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为，所以，故选：D10、D【解析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：由，解得：；由可得：，所以.故选：D11、C【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C12、A【解析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.【详解】海轮向北航行后到达点，则由题意，在中，又则,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案为：14、42【解析】由焦半径公式求得参数，得抛物线方程，从而可求得两点纵坐标，再求得直线与轴的交点坐标后可得面积【详解】因为，所以，抛物线的方程为，把代入方程，得（舍去），即.同理，直线方程为，即．所以直线与轴交于点，所以.故答案为：4215、【解析】由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围【详解】由已知可得，且四边形为矩形所以，又因为，所以得离心率因为，所以，可得，从而故答案为：16、真命题【解析】先判断原命题的真假，再由逆否命题与原命题是等价命题判断.【详解】因为命题“若，则”是真命题，且逆否命题与原命题是等价命题,所以它的逆否命题是真命题，故答案为：真命题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明过程见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.【小问1详解】该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4，所以有，所以抛物线C的方程为：；【小问2详解】该抛物线的准线方程为，设直线l的方程为：，与抛物线方程联立，得，不妨设，因此，直线的斜率为：，所以方程为：，当时，，即，同理，因为，所以有，而，所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过.【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.18、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，所以，，，因为，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作为平面的法向量，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为.（3）设，即，，所以，即，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即.【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法，向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取：1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的垂线的交点为原点；2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标；3、求：求出两个面的法向量；4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.19、（1）（2）77（3）【解析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得，所以图中值是0.020.【小问2详解】由频率分布直方图得这组数据的平均数：，所以这组数据的平均数为77.【小问3详解】数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.20、（1），；（2），.【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.21、（1）；（2）.【解析】（1）由题意知分数小于的产品为不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分层抽样确定抽取的件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为件和件，再利用古典概型把所有基本事件种都列举出来，在判断件口罩全是合格品的事件有种情况，即可得到答案.【小问1详解】在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件）所以口罩为不合格品的频率为，根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为【小问2详解】由题意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件设件合格