2025届广东省东莞市北京师范大学石竹附属中学高二上数学期末教学质量检测试题含解析

2025届广东省东莞市北京师范大学石竹附属中学高二上数学期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（）A. B.C. D.2．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）A.100 B.15C.80 D.503．已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知向量，，且，则值是（）A. B.C. D.5．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）A. B.C. D.6．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A. B.3C. D.27．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）A. B.C. D.9．数列满足，对任意，都有，则（）A. B.C. D.10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元11．已知等比数列中，，，则公比（）A. B.C. D.12．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条 B.3条C.2条 D.1条二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.14．抛物线的准线方程为_______.15．如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为（1）求a；（2）若D为BC边上一点，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值18．（12分）设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB⏊平面PCD20．（12分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.21．（12分）已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.22．（10分）已知数列是等差数列，为其前n项和，，（1）求的通项公式；（2）若，求证：为等比数列

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量，∴，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题2、C【解析】按照比例关系，分层抽取.【详解】由题意可知，所以应当抽取的一般员工人数为.故选：C3、B【解析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.【详解】不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取最大值，当时，恒成立，的草图如下：，，则若只有一个整数解，则，即故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是故选：B4、A【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，，因为，所以，解得：，故选：A.5、A【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则，即，取，，又平面平面，则平面与平面间的距离为，故选：A.6、B【解析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】若，则，即或，推不出；反过来，若，可推出.故“”是“”的充分不必要条件故选：A.8、A【解析】设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可【详解】设所求点的坐标为，则，因为平面的一个法向量为，所以，，对于选项A，，对于选项B，，对于选项C，，对于选项D，故选：A9、C【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】由，得，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.10、B【解析】，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程11、C【解析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，解得，又，，故选：C.12、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设M,N的中点坐标为P，,则；由于，化简可得，根据椭圆的定义==6，所以12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式.14、【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1，∴其准线方程是y=，故答案为15、①..②..【解析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.【详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）由题意可知，，，因为，，所以，故设平面的法向量为，则，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为：；.16、【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意，作图如下，取的中点G，连结，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，与平面的夹角=，在中，，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用面积公式及余弦定理可求解；（2）由正弦定理得到，再运用同角函数的关系得到，最后运用正弦的两角和公式求解即可.【小问1详解】∵，，，∴由余弦定理：，∴【小问2详解】在中，由正弦定理得，∴，易知B为锐角，∴，∴18、(1).(2)10.【解析】（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值试题解析：（1）由已知，有，即从而又因为成等差数列，即所以，解得所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列故（2）由（1）得．所以由，得，即因为，所以．于是，使成立的n的最小值为10考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和19、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC中点G，连结EG，FG，推导出，，从而平面平面，由此能得出结论；（2）推导出，从而平面PAD，即得，结合得出平面PCD，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因为底面ABCD为矩形，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因为平面PAD，所以.又因为，，所以平面PCD因为平面PAB，所以平面平面PCD【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20、（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.(2)利用给定条件结合古典概率公式计算作答.(3)利用(1)中信息求出的观测值，再与临界值表比对作答.【小问1详解】列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800【小问2详解】由(1)知，被调查者中低学历的有400，其中不了解数字人民币的有150，从400人中任取2人有个基本事件，它们等可能，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的事件A有个基本事件，所以被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.【小问3详解】由(1)知，的观测值为，所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.21、（1）（2）或【解析】（1）根据焦点坐标可得，根据点到短袖一个端点的距离为，然后根据即可；（2）先设联立直线与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到，两点的坐标关系，然后根据建立关于直线的斜率的不等式，解出不等式即可.【小问1详解】根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：点到短袖一个端点的距离为，则有