河北省宣化一中、张北一中2025届高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

河北省宣化一中、张北一中2025届高二数学第一学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.2．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为（）A.3 B.6C.9 D.124．在下列命题中正确的是（）A.已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为B.若所在的直线是异面直线，则不共面C.若三个向量两两共面，则共面D.已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面5．是数列，，，－17，中的第几项()A第项 B.第项C.第项 D.第项6．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.27．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.8．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.9．如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则（）A. B.C. D.10．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.12911．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（）A. B.C. D.12．已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________14．抛物线的焦点坐标为__________15．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________16．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线与直线垂直；②直线与直线相交；③直线与直线平行；④直线与直线异面；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积19．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.（1）求椭圆的方程（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）若点，求证：三点共线.20．（12分）在数列中，，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？22．（10分）求适合下列条件的曲线的标准方程：（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.2、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.3、A【解析】模拟执行程序框图，根据输入数据，即可求得输出数据.【详解】当时，不满足，故，即输出的的值为.故选：.4、D【解析】对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D正确，故选：D5、C【解析】利用等差数列的通项公式即可求解【详解】设数列，，，，是首项为，公差d＝－4的等差数列{}，，令，得故选：C6、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.7、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B8、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B9、B【解析】利用插点的方法，将归结到题目中基向量中去，注意中线向量的运用.【详解】.故选：B.10、C【解析】由题设可得，再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.11、C【解析】根据椭圆的定义可得，由即可求解.【详解】由，可得根据椭圆的定义，所以.故选：C12、A【解析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论【详解】设的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）所以故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.【详解】因为，故可得，其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；因为，即，其表示过点，且斜率为的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，只需即可.容易知：；不妨设过点与相切的直线方程为，则由直线与圆相切可得：，解得，故.故答案为：.14、【解析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为故答案为：15、##【解析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.【详解】双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，∴，且，∴，∴，则.故答案为：.16、①④【解析】画出正方体，，，故，①正确，根据相交推出矛盾得到②错误，根据，与相交得到③错误，排除共面的情况得到④正确，得到答案.【详解】如图所示的正方体中，，，故，①正确；若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，②错误；，与相交，故直线与直线不平行，③错误；，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④正确；故答案为：①④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.【小问1详解】矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故两两垂直，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：∵，则，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小问2详解】由（1）知，平面的法向量为，又向量，则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，则.故直线与平面所成角正弦值为.18、（1）；（2）【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可【小问1详解】由题意，双曲线渐近线方程为：，所以，所以双曲线E的标准方程为：故双曲线故双曲线的右焦点为，所以，，所以【小问2详解】由题意联立，得，又所以因为直线过抛物线的焦点，所以O到直线的距离，19、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程求出弦长和三角形的高即得解；（3）联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理，再利用平面向量证明.【小问1详解】解：由题得，所以椭圆方程为，因为椭圆过点所以，所以所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题得,所以直线的方程为即，联立直线和椭圆方程得，所以,点到直线的距离为.所以的面积为.【小问3详解】解：设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，设，所以，由题得，，所以，所以，所以,又有公共点,所以三点共线.20、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）利用等比数列的定义结合已知条件即可得到证明.（2）运用分组求和的方法，利用等比数列和等差数列前项和公式求解即可.【详解】（1）证明：∵，∴数列为首项是2，公比是2的等比数列.∴，∴.（2）由（1）知，，【点睛】本题考查等比数列的定义，通项公式的应用，考查等差数列和等比数列前项和公式的应用，考查分组求和的方法，属于基础题.21、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用