数学课后导练：从力做的功到向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）A.（a+b)+c=a+(b+c)B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m(a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a（b·c)解析:由向量的运算律知选项D不一定成立.答案：D2。设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线,则①（a·b）c—（c·a）b=0；②a2=|a|2；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直;④(3a+2b）·(3a-2b）=9|a|2—4｜b｜A.①②B.②③C。③④D.②④解析：①中，a·b的运算结果为数，故(a·b）c为一向量，同理(a·c)b也是一向量,向量之差为向量.故①不正确。由数量积的性质知②正确.又[(b·c)a—(c·a)b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）(b·）=0,而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量。故③不正确，④正确.答案：D3.在边长为1的正三角形ABC中，设=c，=a，=b，则a·b+b·c+c·a等于()A.1.5B.—1.5C。0.5解析：在正三角形ABC中，a·b=｜a|·|b｜cos60°=0.5,b·c=|b｜·|c|cos60°=0。5，a·c=｜a|·｜c|cos120°=—0。5,答案：C4.(2004重庆高考，6）若向量a与b的夹角为60°，｜b|=4，(a+2b）·(a-3b)=—72，则向量a的模是（）A。2B.4C。6解析：（a+2b）·（a-3b）=｜a｜2—a·b—6｜b｜2=—72∴｜a｜2-|a|·｜b|·cos60°—6|b｜2=-72∴|b｜=4代入上式，解得:|a|=6（∵｜a|＞0）。答案:C5.△ABC中,=a，=b，若a·b＜0,则△ABC形状为（)A.直角三角形B。锐角三角形C。钝角三角形D。不能判断解析：由a·b＜0，知cos〈a，b〉＜0，所以<a,b〉＞,所以∠ABC为锐角.三角形中，∠ABC为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.答案：D6。比较大小|a·b|___________|a｜·｜b｜。解析:a·b=｜a｜|b|cosθ，∴|a·b｜=｜a｜|b｜｜cosθ｜≤｜a|·｜b|.答案：≤7。已知e为单位向量，|a｜=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________。解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题。投影为=｜a｜·cos=—2。答案：—28。利用向量证明:菱形的两条对角线互相垂直.证明：设=a,=b,则｜a｜=｜b｜.∵=a+b,=a—b，∴·=(a+b)·（a-b）=a2—b2=｜a｜2—｜b｜2=0.∴⊥。∴AC⊥BD。9。已知|a｜=6,|b|=4，a与b的夹角为，求（1）a·b;（2)a2；（3)｜a+b｜。解析：（1)a·b=｜a｜|b｜cos=6×4×=。（2）a2=a·a=|a|2=62=36。（3)｜a+b｜=。10。已知平面上三个向量a、b、c的模为1，它们相互间的夹角均为120°.（1)求证：(a-b）⊥c；（2)若|ka+b+c|=1（k∈R）,求k的值.(1）证明：∵(a—b）·c=a·c—b·c=｜a｜｜c｜·cos120°-｜b｜|c｜cos120°，又|a｜=｜b|=|c｜，∴（a—b)·c=0，即（a—b）⊥c.（2）解析：由｜ka+b+c|=1，得｜ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c又a·b=a·c=b·c=-,∴k2-2k=0.解得k=2或0.综合运用11.已知△ABC满足2=·+·+,则△ABC是()A。等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：∵·+·=·(—）=2，∴=0.∴⊥,即AC⊥BC.∴△ABC为直角三角形。答案：C12.若a、b是不共线的两向量，且=λ1a+b，=a+λ2b(λ1、λ2∈R），已知A、B、C三点共线，则()A。λ1=λ2=—1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D。λ1λ2—1=0解析：可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程。∵A、B、C三点共线，∴存在实数k，使得=k，即λ1a+b=ka+λ2kb。又a、b不共线,∴。消去k得λ1λ2—1=0。答案:D13.若｜a｜=m(m＞0)，b=λa（λ＞0）,则a·b=_______；若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＜0),则a·b=________。解析：∵b=λa(λ＞0）,∴〈a·b〉=0,∴a·b=λm2.当b=λa（λ＜0）时,〈a·b〉=π,∴a·b=—λm2。答案:λm2-λm214.已知|a｜=2,｜b｜=，a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.解析:若λb—a与a垂直，则（λb—a)·a=0,即λb·a—a2=0,∴λ|b｜·｜a|·cos45°—|a｜2=0,∴λ××2×—22=0,∴λ=2.答案:215.求证：直径上的圆周角为直角.证明：如右图，设=a,=b，有=a.∵=a+b，=a-b且|a|=|b｜,∴·=（a+b)·（a-b）=|a|2-|b|2=0。∴⊥。∴∠ABC=90°。拓展探究16。设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时,向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°，证明你的结论。解析:假设夹角