数学课后导练：6三个正数的算术-几何平均不等式（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1下列不等式的证明过程正确的是（）A.若a、b∈R,则=2B。若x、y是正实数，则lgx+lgy≥C.若x是负实数,则x+=4D。若a、b∈R且ab〈0,则=-2解析:只有D正确.∵ab〈0,∴>0。>0∴。∴A、B、C三个选项忽视了各项为负值的情形.答案:D2函数y=的最小值是_____________.解析：y=,设t=≥2,则y=t+在[2,+∞)上是增函数.∴ymin=2+。答案：3设a、b∈R，已知命题p:a=b;命题q：(）2≤.则p是q成立的…（）A.必要不充分条件B。充分不必要条件C.充分必要条件D。既不充分也不必要条件解析：命题p：a=b是命题q：()2≤成立的充分不必要条件.故选B。答案:B4函数y=x(1—3x)（0〈x<)的最大值是…()A.B。C.0D.无最大值解析:y=·3x·（1-3x）≤·（）2=，即ymax=。此时3x=1-3xx=。答案:B5如果x2+xy+y2=1（x、y∈R）,那么n=x2+y2适合的条件是（）A.0〈n≤1B.2≤n≤3C。n≥2D。≤n≤2解析：令y=mx,于是x2+mx2+m2x2=1,∴x2=。∴x2+y2=。∵m+≥2或m+≤-2,∴≤n≤2.答案:D综合应用6已知m=a+（a>2）,n=(x〈0),则m、n的大小关系是________.解析:∵a〉2,x〈0，∴a-2>0,x2—2>—2.又m=a—2++2≥4（当且仅当a=3时取等号),n=〈()-2=4，∴m≥4,n<4。∴m>n。答案:m〉n7已知x和k都是正实数，f(x）=,则（)A.f（x）≥4B.f(x)≥3C。f(x）≥2D.f(x）〉2解析:f（x)=≥2,即f（x)min=2,此时x2+k=1x2=1-k.当0<k≤1时，f（x)取到最小值2。∴f（x)≥2.答案:C8在△ABC中，若三边a、b、c满足条件（a+b+c)3=27abc，试判定△ABC的形状.解析：∵a〉0，b〉0，c〉0,故有不等式a+b+c≥(见阅读材料），即（a+b+c)3≥27abc,当且仅当a=b=c时,上式等号成立,故三角形为等边三角形。9某工厂生产一批精密仪器，这个厂有两个分厂，分设在甲、乙两城市。在甲城市的分厂生产半成品,然后送到乙城市的分厂加工成成品。现该厂接受了一批订货，要在100天内制成这批精密仪器.由于乙分厂每天可以加工完一件仪器,而甲分厂的半成品保证满足供应，所以这项订货任务恰好按期完成。今知每一批半成品从甲市运到乙市的运费为100元,而每个半成品在乙市储存一天的储存费为2元.问应分几批(批量相等),才能使总的花费（包括运输费及储存费）最省?解析：由题设条件,每批送x个，批次为,又①每批运费100元，②每批储存费为2×1+2×2+…+2（x—1)=2［1+2+…+（x-1）］=x(x—1),由此可建立总的花费y与x的函数。设总费用为y元，每批送x个，批次为.由题意，得y=［100+x（x-1）]（0〈x≤100,x∈N＊,∈N*)=（+100x)-100≥-100=1900,当且仅当=100x,即x=10（件)时等号成立.=10(批）。答:分10批送总费用最低。拓展探究10若θ∈（0,），a>b〉0，求f（θ）=的最小值。解法一:(化弦为切）f(θ)==a2（1+tan2θ)+b2（1+)=a2+b2+（a2tan2θ+)≥a2+b2+2ab=(a+b）2。当且仅当a2tan2θ=,即tan2θ=,tanθ=时“=”成立。故f（θ)的最小值为（a+b)2。解法二:(利用cos2θ+sin2θ=1）(cos2θ+sin2θ）（）=a2+b2+≥a2+b2+2ab=(a+b）2,当且仅当,即tanθ=时“=”成立.∴f(θ）的最小值为(a+b）2。备选习题11求y=(0〈x〈π）的最小值.解法一：y=.∵x∈（0,π）,∴0<sinx≤1，.∴y≥.当且仅当，即sinx=1时取“="。因此y的最小值为。解法二:设=t,∵x∈（0，π),∴t∈（0，］，则函数y==t+。而y=t+在t∈（0,］上为减函数（证明略）,∴当t=时，ymin=+2=，此时，x=。故当x=，即sinx=1时，ymin=。12若0〈α〈,0〈β〈,试证≥7.证明:=1+tan2α+4+cot2α≥5+2tanα·cotα=7。当且仅当sin22β=1，tan2α=1时“=”成立。∴原不等式成立.13已知n〉2，试证:logn（n+1）<logn—1n.证法一：∵logn(n+1)-logn-1n=logn(n+1)-=∴logn（n+1)<logn-1n.证法二:=logn（n+1）·lognn—1〈[(logn（n+1）+lognn-1）］2=[logn（n2—1）］2<（lognn2)2=1。又logn（n+1)〉0，logn-1n〉0，∴logn（n+1)<logn—1n.14甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位）由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时）的平方成正比,比例常数为b，固定部分为a元。（1）把全程运输成本y元表示为速度v（千米/时）的函数,并指出函数的定义域;(2）为了使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?解析：(1)因为汽车每小时的运输成本为bv2+a（元）,全程时间为(小时),故y=(bv2+a），即y=s(+bv），v∈(0,c］。（2)由于+bv≥，仅当v=时取等号,故①若≤c,则当v=时，y取最小值.②若≥c，则先证y=s（+bv)，v∈（0,c］为单调减函数。事实上，当v1、v2∈(0,c］,且v1<v2，则y1-y2=s［(+bv1）-（+bv2）]=s［（-）+(bv1-bv2）］=s（v1—v2）(b—）=sb(v1—v2）·。∵v1、v2∈(0,c］,v1〈v2，∴v1-v2〈0,v1v2〉0,v1〈,v2≤。进而v1v2〈,从而y1-y2>0。故y=s(+bv）,v∈(0，c］为单调减函数，由此知当v=c时取得最小值。综上可知，若≤c，则当v=时，y取最小值;若≥c，则当v=c时取得最小值。15某种生产设备购买时费用10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少）？解析:设使用x年的年平均费用为y万元。由已知，得y=，即y=1+（x∈N＊）.由均值不等式,知y≥1+=3,当且仅当，即x=10时取“=”.因此使用10