人教版 九年级 数学 下册 第二十七章《相似三角形应用举例》教学课件

27.2相似三角形第二十七章相似27.2.3相似三角形应用举例逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2利用影子测量物体的高度利用标杆测量物体的高度利用镜子的反射测量物体的高度利用相似测量宽度知识点利用影子测量物体的高度知1－讲11.测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决.知1－讲2.测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′.知1－讲特别提醒运用此测量方法时，要符合下列两个条件：1.被测物体的底部能够到达；2.由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.知1－讲示例知1－练例1古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图27.2－41，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝274m，求金字塔的高度OB.知1－练解题秘方：用“太阳光是平行光线”构建相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解.知1－练

知1－练1－1.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把木杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和木杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m.已知B，C，E，F

在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝_______m.9.88知2－讲1.测量原理：用标杆或直尺的高(长)作为三角形的边构造相似三角形.2.测量方法：(1)测量出标杆的长度CD,观测者眼睛到地面的高度AB；知识点利用标杆测量物体的高度2知2－讲特别提醒利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部必须可到达.知2－讲(2)让标杆竖直立于地面,调整观测者的位置,使观测者的眼睛A、标杆顶端C

和旗杆顶端E

恰好在一条直线上,测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF；(3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似,利用对应边成比例求出旗杆的高度EF.知2－讲示例知2－练[中考·江西]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图27.2－42，点A，B，Q

在同一水平线上，∠

ABC

和∠

AQP

均为直角，AP

与BC

相交于点D.测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝_______m.例26知2－练解题秘方：本题关键是找出相似三角形，然后根据相似三角形对应边成比例列出方程求解.

知2－练2-1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF

保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB为______m.5.5知3－讲知识点利用镜子的反射测量物体的高度31.测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度.知3－讲2.测量方法：特别提醒1.测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置；2.利用物理学中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”相关知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.找到一组锐角对应相等，创造相似条件.知3－讲(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；(2)测出观测者眼睛到地面的高度；(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；知3－讲(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.示例知3－练如图27.2－43是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2m，BP＝3m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度.例3知3－练思路引导：知3－练

知3－练3－1.[中考·南充]如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为(

)A.6.4mB.8m

C.9.6mD.12.5mB知4－讲1.测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.知识点利用相似测量宽度4知4－讲2.常见的测量方式：(1)构造“A”型相似，如图27.2－44.知4－讲(2)构造“X”型相似，如图27.2－45.知4－讲特别解读利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：1.利用平行线、标杆等构造相似三角形；2.测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一组对应边的长度；3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；4.检验并得出答案.知4－练如图27.2－46，我们想要测量河两岸相对的两点A，B

之间的距离(即河宽).方案：先从B点出发向与AB成90°角的方向走50m到O处立一标杆，然后方向不

变，继续向前走10m到C处，在C处向右转90°，沿CD方向再走17m到D处，使得点A，O，D在同一条直线上，那么点A，B之间的距离是多少？例4知4－练解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.

知4－练4－1.如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是

C′D，点B，E，D在同一水平线上，且A，E，C′在一条视线上，河宽BD＝12m，且BE＝2m，求树CD的高度.知4－练相似三角形应用举例相似的应用测量高度测量宽度工具光线镜子标杆或直尺方法利用中间比法求物高1周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图27.2－47所示，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于点N时，他的视线从点M通过露台点D

正好落在遮阳篷点A处；例5当他位于点N′时，视线从点M′通过点D正好落在遮阳篷点B

处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽.已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.实际测得GE＝5m，EN＝15.5m，NN′＝6.2m.请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB

是多少米.解题秘方:根据平行线找三角形相似，利用相似三角形的性质建立线段之间的关系解决问题.解:如图27.2－47所示，延长MM′交DE于点H.由图可知HM＝EN＝15.5m，CD＝GE＝5m，MM′＝NN′＝6.2m，HM∥EF.

解题通法利用相似求物高：解决实际问题中的求高度或距离问题时，常建立几何模型构造相似三角形，常作的辅助线是平行线、垂线或延长线，利用相似三角形对应边成比例的性质求解.解题策略一些复杂的实际问题常涉及两个图形，并且未知线段过多，此时需要多次运用相似三角形的性质，有时还需要借助方程来求解.方法利用分割(补形)法求物高2如图27.2－48，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH的长为2m，此时树AB的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物CE的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树AB的高度是多少米？例6解题秘方：添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解.

方法利用影子断物法求物高3

例7解题秘方:利用同一时刻影长和物高成比例，建立线段之间的数量关系解决问题.

答案：D

方法点拨当物体的影子落在斜坡上时，常延长光线画出若无斜坡阻挡时物体在地面上的影子，根据相似三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及方程思想求解.如图27.2－51，铁道口栏杆的短臂OA长为1.25m，长臂OB长为16.5m，当短臂端点(A→C)下降0.85m时，长臂端点(B→D)升高了多少米？(不计栏杆的宽度)例8易错点不能准确理解题目中的已知条件，从而导致错误

诊误区：构造直角三角形解决实际问题时，要注意对应量的关系，如本题中错解是把AC的长当成了下降的高度，把BD的长当成了上升的高度，实际上CE的长为下降的高度，DF的长为上升的高度.[中考·菏泽]如图27.2－52，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C，点B，C

分别在AM，AN

上，考法利用相似三角形的性质解实际中测距离的应用1例9现测得AM＝1000m，AN＝1800m，AB＝54m，BC＝45m，AC＝30m，求M，N

两点之间的距离.试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题意，建立相似三角形的模型是解题的关键.

[中考·陕西]小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图27.2－53，考法利用影长测量不在地面的物高的应用2例10在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16m，OA的影长OD为20m，小明的影长FG为2.4m，其中O，C，D，F，G

五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF

为1.8m，求旗杆的高AB.试题评析：本题主要考查利用相似三角形的性质测量物高，关键是找出图形中相似的三角形.

[中考·湖州]某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图27.2－54，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，考法利用光的反射原理测量物高的应用3例11再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6m，DF＝2m，EF＝0.5m，CD＝1.7m，则这棵树的高度(AB的长)是_________m.4.1试题评析：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，利用已知条件得出相似三角形是解题的关键.解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图27.2－54，∵

DB

是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，∴

DH＝EF＝GB＝0.5m，EH＝DF＝2m，EG＝FB＝6m，∴

CH＝CD－DH＝1.7－0.5＝1.2(m).根据题意得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝

∠AEG，

1.[模拟·柳州]某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河的宽度PQ

是(

)A.70m B.80mC.90m D.100mC

A3.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光沿直线传播的特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为_______cm.204.[期中·杭州西湖区]如图，某校宣传栏BC后面12m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2m，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC，AF＝3m，BC＝10m，该宣传栏后DE处共有________棵树(不计宣传栏的厚度).265.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6m，BD＝1m，BE＝0.2m，那么AC

为________m．76.[中考·温州]如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A

点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2.测得EF＝15m，FM＝2m，MN＝8m，∠ANE＝45°，则场地的边AB为_______m，BC为_______m.7.[期中·哈尔滨南岗区]在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1m的竹竿的影长为0.8m，测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图)，落在地面上的影长为4.8m，一级台阶高为0.25m，落在第一级台阶上的影子长为0.2m，则树的高度为________m.6.58.如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A，第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好在镜中看到树尖A.已知小明眼睛距地面1.6m，量得CC′＝7m，CF＝2m，C′F′＝3m，求这棵古松树AB

的高.9.[二模·西安高新区]如图，小娟和妈妈二人配合测量小区内一棵树的高度AD.她们的身高分别是1.6m，1.8m(EB＝1.6m，FC＝1.8m)，小娟在距离树0.3m的B处(AB＝0.3m)，看树的顶端D

的视线为ED，原地再看妈妈的头部，视线为EF，妈妈经过移动调整位置，当EF⊥ED时妈妈停止移动，这时测得AC＝9.5m.已知点A，B，C

在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD.解：如图，过点E作EG⊥CF于点G，延长GE交AD于点H，则GH⊥AD，四边形CBEG和四边形AHEB是矩形，∴AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5－0.3＝9.2(m)，AB＝HE＝0.3m.10.拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E，