数字信号处理（第2版）课件 第5章-IIR数字滤波器设计

第5章IIR数字滤波器设计15.1数字滤波器设计的基本概念5.2模拟滤波器的基本概念与设计方法5.3IIR数字滤波器设计5.4数字滤波器的频率变换5.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器5.1数字滤波器设计的基本概念25.1.1数字滤波器及其设计方法概述5.1.2理想数字滤波器5.1.3全通系统与最小相位系统5.1.1数字滤波器及其设计方法概述3数字滤波：

对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。优点：

处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述4

滤波器分类

经典滤波器（一般滤波器）（本书介绍）

线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。分类（功能）：高通、低通、带通、带阻；分类（结构）：递归系统、非递归系统；分类（实现方法）：无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR（本章介绍）有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR（下章介绍）

现代滤波器

随机信号统计理论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）5.1.1数字滤波器及其设计方法概述5间接设计法：是借助模拟滤波器设计方法进行设计的。（1）先根据数字滤波器性能指标转换成原型模拟滤波器性能指标；（2）再用模拟滤波器设计方法设计原型模拟滤波器；（3）最后将原型模拟滤波器转换成数字滤波器。直接设计法：在时域或频域直接设计数字滤波器。（1）这种设计方法一般是先确定最优准则；（2）找出使最优准则下误差最小的滤波器系统函数。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述6按照任务的要求，确定滤波器的性能指标；1.设计数字滤波器一般分三步：(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数，去逼近滤波器性能指标的要求。这个系统函数可以是IIRDF的系统函数或FIRDF的系统函数；(3)数字滤波器实现，主要工作包含：选择运算结构，确定运算和系数存储的字长，选用通用计算机及相应的软件或专用数字滤波器硬件实现这一系统。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述72.数字滤波器的性能指标以可实现的低通滤波器为例，用频率响应的幅频特性允许误差来表征。通带：指信号中通过滤波器后基本保持无衰减的频率范围；阻带：指信号中被滤波器滤除的频率范围。过渡带：幅频特性平滑地从通带下降到阻带的频率范围。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述8:通带的边界频率(passbandedgefrequency):通带峰值波纹(peakpassbandripple):阻带的边界频率(stopbandedgefrequency):阻带峰值波纹(peakstopbandripple):通带的的衰减(passbandattenuation):阻带的的衰减(stopbandattenuation)5.1.1数字滤波器及其设计方法概述93.性能指标关系（5.1-2）（5.1-1）通带：阻带：用分贝表示的滤波器的增益(gain)响应定义当数字滤波器的单位脉冲响应

实数序列时，滤波器的幅频特性

是

偶函数，所以一般只用描述0～

区间的幅频特性，就确定了滤波器频响特性的幅度要求。5.1.2理想数字滤波器10理想滤波器对数字信号进行滤波可以达到最理想的效果，但是它不可能实时实现，只能近似实现。设计时把理想滤波器作为逼近标准。1.理想数字滤波器的种类数字滤波器按频响特性划分成低通、高通、带通、带阻、全通等类型。理想频响特性是不可能实现的，原因是频率之间幅频特性是突变的，因而其单位脉冲响应是非因果的。5.1.2理想数字滤波器11数字滤波器频响特性是周期性，周期为2

，频率变量以数字频率

来表示,数字滤波器设计时必须给出采样频率。

为模拟角频率，T为采样脉冲周期，fT为采样频率

按照奈奎斯特采样定理，频响特性只能限于范围。在通带内，幅度为常数（非零），相位具有线性；在阻带内，幅度与相位均为零。5.1.2理想数字滤波器122.理想数字低通滤波器频响特性表达式如下：式中，n0是一个正数，

c称为通带截止频率。信号通过该滤波器后，其输出的频谱应为如果输入信号的频谱限制的范围内,输出信号为:该式表示输出信号相对于输入信号没有发生失真5.1.2理想数字滤波器13该滤波器的单位脉冲响应为：显然当n<0

时，，它的单位脉冲响应是一个无限长的非因果序列，因此理想低通滤波器物理不可实现。5.1.2全通系统与最小相位系统14全通系统(All-passfilter)是指系统频响特性的幅度在整个频带[0，2

]上均为1或某一常数的系统。设全通系统的系统函数为：

对于所有频率满足：信号通过全通系统后，其输出的幅频特性保持不变，仅相位发生变化，因此全通系统也称为纯相位系统。1.数字全通滤波器的定义2.数字全通滤波器的系统函数（1）一阶全通系统的系统函数为：5.1.2全通系统与最小相位系统15这一系统所应的零点，极点位置如图5.1-4(a)所示（取）（2）一个实系数有理二阶全通系统函数如式（5.1-9），系统对应的零点，极点位置如图5.1-4(b)所示（取）。（3）N阶数字全通系统的系统函数5.1.2全通系统与最小相位系统16为具有实系数多项式，其根全在单位圆内

D(z)的根（Hap(z)的极点）应是单位圆内的共轭复数

D(z-1)的根（Hap(z)的零点）应是单位圆外的共轭复数，是D(z)的根的“镜像”5.1.2全通系统与最小相位系统173.数字最小相位系统定义：一个因果稳定系统的系统函数零点与极点均在单位圆内，该系统称为最小相位系统Hmin(z)。特征：在幅频特性相同的所有因果、稳定系统中，对角频率

的任意化范围，最小相位系统的相频特性变化最小。“最小相位”实际是一个不准确的名称，其实际是“最小相位变化系统”。4.数字全通滤波器系统的特性（1）任意一个因果稳定系统的（非最小相位系统）系统函数H(z)

都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联，即

（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可以用级联全通系统的办法将它变成一个稳定的滤波器，这样可以将单位圆外的极点加以抵消，同时又不改变滤波器的幅频特性。5.1.2全通系统与最小相位系统18（3）IIR滤波器的相频特性是非线性，而视频信号的传输中希望系统具有线性相位，此时可以采用全通滤波器作为相位均衡器，来校正系统的非线性相位得到线性相位，同时不改变系统的幅频特性。例5.1-1

非最小相位系统的系统函数画出系统函数的零极点分布图，将其分解成全通系统与最小相位系统的级联5.1.2全通系统与最小相位系统19例5.1-2

一个非稳定滤波器的系统函数级联一个全通系统，使级联后的滤波器变成稳定系统。5.2模拟滤波器的基本概念与设计方法205.2.1系统的物理可实现性5.2.2典型模拟低通滤波器的设计方法5.2.3频率变换215.2模拟滤波器的基本概念与设计方法从时域上看，一个物理可实现系统的冲激响应h(t)应满足：（即物理可实现的系统一定是因果系统）从频域上看，一个物理可实现系统的频响特性应满足：---------佩利-维纳准则（Paley-Winnercriterion）

一个物理可实现的实际滤波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。5.2.1系统的物理可实现性225.2模拟滤波器的基本概念与设计方法5.2.2典型模拟低通滤波器的设计方法通带

过渡带

阻带0通带公差带阻带公差带通带边界频率阻带边界频率低通滤波器的实际特性：235.2模拟滤波器的基本概念与设计方法1.巴特沃兹（Butterworth）滤波器（最大平坦幅度特性）---------截止频率n---------阶数模拟滤波器的设计步骤：(1)根据技术指标（滤波器的幅频特性），确定系统函数H(s)；(2)设计实际网络实现H(s)。245.2模拟滤波器的基本概念与设计方法

巴特沃兹滤波器的极点分布特征：255.2模拟滤波器的基本概念与设计方法令即当n为奇数时：当n为偶数时：设n=2,则265.2模拟滤波器的基本概念与设计方法可以证明：选左半s平面的两个极点作为H(s)的极点，则一般形式：---------巴特沃兹多项式275.2模拟滤波器的基本概念与设计方法如图所示，设计一低通巴特沃思滤波器的系统函数。要求在通带边界频率=200

rad/s处，幅度衰减δp≤2dB，在阻带边界频率=400

rad/s处，幅度衰减δs≥15dB。解：由于通带边界频率处幅度衰减不为3dB，因此要根据通带和阻带的衰减要求，联立方程。例5.2-1285.2模拟滤波器的基本概念与设计方法上述两式取等号可求出由于滤波器的阶数n必须是整数，为了满足和超过所给的技术指标，n应取3。

295.2模拟滤波器的基本概念与设计方法

c=687rad/s通过查表5.2-1并将s用代替，最后可得巴特沃思滤波器的系统函数为

得到滤波器的系统函数H(s)后，通常可以采用无源网络或有源网络来实现。305.2模拟滤波器的基本概念与设计方法2.切比雪夫(Chebyshew)滤波器切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：①幅频特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的全极点滤波器，称为切比雪夫I型滤波器；②幅频特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，并且既有零点又有极点的滤波器，称为切比雪夫II型滤波器。图5.2-5切比雪夫I型滤波器的幅频特性315.2模拟滤波器的基本概念与设计方法（1）I类切比雪夫滤波器的幅频特性其中，

是与通带波纹有关的参数，

p是通带的边界频率，Tn(x)一个n阶切比雪夫多项式，

当n为奇数或n为偶数时，滤波器的幅频特性有所不同。对于n为奇数,Tn(0)=0,由此可得

H

(0)=1；对于n为偶数,Tn(0)=1,由此可得

H

(0)=1(1+

2)；幅频特性在0

p之间是等波纹的，在

p时单调下降。当=s时，滤波器幅度等于1/A，称

s为滤波器阻带边界频率滤波器的系统函数325.2模拟滤波器的基本概念与设计方法（2）II类切比雪夫滤波器的幅频特性II型低通滤波器的系统函数不再是全极点函数，它既有极点也有零点。滤波器的系统函数335.2模拟滤波器的基本概念与设计方法3.椭圆（elliptical）滤波器椭圆滤波器又称考尔滤波器（Cauerfilter)，是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。椭圆滤波器是既有极点又有零点的滤波器，滤波器的阶数越大，则通带与阻带的起伏次数越多，阶数等于滤波器幅频特性在通带中（或阻带中）极大值个数与极小值个数之和。滤波器的幅频特性其中：

Rn(x)是雅可比(Jacobi)椭圆函数

通带边界频率400Hz，通带波纹为0.022，阻带边界频率500Hz，阻带的最大波纹为0.1345.2模拟滤波器的基本概念与设计方法4.贝塞尔（Bessel）滤波器贝赛尔滤波器是具有最大平坦的群延时（线性相位响应）的线性滤波器,具有几乎横跨整个通频带的恒定群延时。模拟滤波器的相频特性为

(

)

，其群延时滤波器的系统函数典型贝赛尔低通滤波器的频响特性曲线355.2模拟滤波器的基本概念与设计方法模拟滤波器的比较巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。切比雪夫Ⅰ滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降。切比雪夫Ⅱ滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降。椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下降。贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。★在相同阶数，相同通带衰减、阻带衰减要求下，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器。★在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。5.3IIR数字滤波器设计365.3.1脉冲响应不换法5.3.2双线性变换法375.3IIR数字滤波器设计目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成原型模拟滤波器的指标设计原型模拟滤波器将原型模拟滤波器转换为数字滤波器指标转换385.3IIR数字滤波器设计原型模拟滤波器转换为数字滤波器的要求保证因果稳定性，Ha(s)的因果稳定性映射成H(z)

后保持不变，即s平面的左半平面Re{s}＜0应映射到z平面的单位圆以内|z|＜1;设计模拟Ha(s)

转换成数字H(z)H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆ej

上。395.3.1脉冲响应不变法1．变换原理脉冲响应不变法(impulseinvariancemethod)是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h[n]模仿模拟滤波器的单位冲激响应,使正好等于ha(t)的采样值。

其中T为采样周期设：根据采样定理（5.3-2）令，代入上式得：（5.3-3）405.3.1脉冲响应不变法图5.3-1s平面到z平面的映射关系上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的s平面到z平面的变换，正是信号与系统课程讨论的拉普拉斯变换到z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过z=esT

的映射关系映射到z平面上。（5.3-3）脉冲响应不变法：从s平面到z平面不是一一映射关系415.3.1脉冲响应不变法2.混叠失真数字滤波器的频响特性和模拟滤波器的频响特性之间的关系（5.3-4）上式说明，数字滤波器的频响特性是模拟滤波器的频响特性的周期延拓。（5.3-5）满足式（5.3-5）条件，使数字滤波器的频响特性在折迭频率以内重现模拟滤波器的频响特性而不产生混叠失真。（5.3-6）任何一个实际的模拟滤波器，其频响特性都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠，数字滤波器的频响特性将不同于原模拟滤波器的频响特性而具有一定的失真。425.3.1脉冲响应不变法图5.3-2实际模拟低通滤波器数字化的幅频特性由于存在频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适合带限的模拟滤波器，例如低通和带通滤波器。高通和带通滤波器不宜采用脉冲响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折迭频率以上的分量。435.3.1脉冲响应不变法3.H(z)的计算

脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N>M，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃信号对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列445.3.1脉冲响应不变法再对h[n]取z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有

所以有s平面上的极点s=si

变换到z平面上是极点,而Ha(s)与H(z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。455.3.1脉冲响应不变法比较上面两式：s平面上的极点s=si，变换到z平面上是极点z=esiT，而Ha(s)与H(z)中部分分式所对应的系数不变。如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点s=si都在s左半平面，即Re[si]<0，那么变换后的极点z=esiT也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持稳定。虽然脉冲响应不变法能保证s平面与z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个s平面与z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与s平面上的零点就没有一一对应关系。值得注意的是，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。465.3.1脉冲响应不变法例5.3-1：将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。解：直接利用的部分分式形式,得模拟滤波器的频响特性为:数字滤波器的频响特性为:475.3.1脉冲响应不变法显然与采样间隔有关，T越小,衰减越大,混叠越小。本例中，当时,混叠可忽略不计。485.3.1脉冲响应不变法小结:(1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。(2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。(3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在s左半平面，映射后得到的H(z)也是稳定的。(4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于ΩT/2的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

495.3.2双线性变换法1.变换公式

双线性变换法(bilineartransformmethod)是一种能克服脉冲响应不变法频谱混叠的滤波器设计方法，是一种常用的IIR数字滤波器设计方法。

为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第1步：将整个s平面压缩到s1平面的一条横带里；第2步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从s平面到z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的.

由此建立s平面与z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。s平面s1平面z平面505.3.2双线性变换法

为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T一段上，可通过以下的正切变换实现：

经过这样的频率变换，当Ω由-∞→0→∞

时,Ω1由-π/T经过０变化到π/T

，即s平面的整个jΩ轴被压缩到s1平面的。这里C是待定常数

将这一关系解析扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：（5.3-10）再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即令,取C=2/T（5.3-11）515.3.2双线性变换法2.双线性变换的特性双线性变换是否符合：由模拟滤波器变换到数字滤波器时，从s平面到z平面映射变换的二个基本原则。(1)当z=ej

时，代入双线性变换关系式（5.3-10），得即s平面的虚轴映射到z平面正好是单位圆。(2)当代入双线性变换关系式（5.3-11），得

当525.3.2双线性变换法即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。

当下图即是数字频率ω与模拟频率之间的映射关系双线性变换的频率非线性关系535.3.2双线性变换法双线性变换靠频率的严重非线性关系得到s平面与z平面的单值一一对应关系，整个j

轴单值对应于单位圆一周，这个频率关系为：（5.3-12）由图看出，s平面的正（负）虚轴映射成z平面单位圆的上（下）半圆。由于s平面的整个正虚轴（

=0～∞）映射成有限宽的数字频段（ω=0～

），所以双线性变换引起数字频率与模拟频率之间的严重非线性畸变。正是这种频率非线性畸变，使整个模拟频率轴映射成数字频率的主值区[-

，

]，从而消除了频谱混叠失真。这种频率非线性畸变使数字滤波器频率响应曲线不能模仿相应的过渡模拟滤波器频率响应曲线的波形。545.3.2双线性变换法频率响应的畸变(举例)幅频特性相频特性555.3.2双线性变换法3.预畸变的方法双线性变换引起数字频率与模拟频率之间的严重非线性畸变，有关频率点的畸变可以通过预畸变来加以校正，即将模拟滤波器的边界频率事先加以畸变，通过双线性变换后正好映射到所需要的数字频率上。(1)根据所要设计的数字滤波器的性能指标，如需要设计数字低通滤波器，其指标为，计算原型模拟滤波器的边界频率。(2)根据这些模拟滤波器的边界频率点设计原型模拟滤波器。(3)作双线性变换，得到所需的数字滤波器的系统函数。565.3.2双线性变换法4.H(z)的计算从模拟系统函数Ha(s)

可直接通过变换公式（5.3-10）得到数字滤波器的系统函数（5.3-13）数字滤波器的频响特性（5.3-14）575.3.2双线性变换法例(补充）用双线性变换法设计数字低通滤波器，指标要求解:根据上述用双线性变换法设计IIR数字滤波器的设计步骤求解。（1）确定数字滤波器指标:

（2）非线性预畸变校正，将数字滤波器设计指标转换为相应的原型模拟滤波器指标。设采样周期T=2s。

给定数字滤波器指标设计时：T可以任意选给定模拟滤波器：

T如何选？585.3.2双线性变换法（3）设计相应的过渡模拟滤波器Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。并仿照例5.2-1计算出n=2，

c≈0.72rad/s。查表5.2-1得到归一化2阶巴特沃思模拟滤波器的系统函数为

去归一化得到

（4）用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器，即5.4数字滤波器的频率变换595.4.1模拟域的频率变换5.4.2模拟域的频率变换5.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计605.4数字滤波器的频率变换归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频率变换或双线性变换冲激响应不变法归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频率变换双线性变换脉冲响应不变法一.模拟域频率变换二.数字域频率变换615.4.1模拟域的频率变换具体设计步骤是：①先根据对高通、带通、带阻等滤波器性能指标，导出相应的低通原型的性能指标；②然后确定原型低通的HL(p)；③再根据对应的频率变换关系得到模拟高通、带通和带阻滤波器的HD(s)。625.4.1模拟域的频率变换低通滤波器高通滤波器设：－－－低通滤波器的系统函数（角频率为截止角频率为）－－－高通滤波器的系统函数（角频率为截止角频率为）变换关系：令有

上式表明：s平面中的虚轴正好映射到p平面的虚轴上，其变换关系为：635.4.1模拟域的频率变换与之间的关系：(5.4-2)将高通滤波器的性能指标，即高通滤波器的通带边界频率

p，阻带边界频率

s，分别代入式(5.4-2)中，求出低通原型的通带边界频率

p，阻带边界频率

s。而高通的通带波纹δp及阻带波纹δs，即对应低通原型的通带与阻带的要求。645.4.1模拟域的频率变换从原型低通滤波器到高通滤波器的变换关系为：根据

p,

s,δp和δs确定低通原型系统函数HL(p)

模拟域的频率变换可以设计模拟低通、高通，带通和带阻滤波器，然后利用双线性变换法完成模拟滤波器到数字滤波器的转换，一般只有低通和带通模拟滤波器可以考虑用脉冲响应不变法转换成数字滤波器。655.4.2数字域的频率变换数字域的频率变换实现步骤①先将模拟低通滤波器转换数字低通滤波器；②利用频率变换将低通数字滤波器转换成所需要的数字滤波器。参数设定：数字低通滤波器：HL(z)，单位圆所需要的数字滤波器：，单位圆变换：665.4.2数字域的频率变换要求：函数在单位圆上恒等于1，是一个全通系统。(5.4-7)675.4.2数字域的频率变换1.低通到低通

为实数由得：(5.4-8)685.4.2数字域的频率变换参数

一般可以通过通带边界频率和计算(5.4-10)695.4.2数字域的频率变换低通频率响应在单位圆上旋转180o，即得高通频率响应：2.低通到高通代入式（5.4-8）

(5.4-11)705.4.2数字域的频率变换解：由已知条件则：高通滤波器的系统函数为：715.4.2数字域的频率变换3.低通到带通725.4.2数字域的频率变换4.低通到带阻735.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计1.模拟域频率变换设计步骤（1）预畸变：用式（5.3-12）将期望的数字滤波器HD

(z)的数字边界频率转换成同类型模拟滤波器Ha(s)的边界频率；（2）模拟域指标变换：将Ha(s)性能指标转换成模拟原型低通滤波器的性能指标，可以用表5.4-1；（3）设计模拟低通原型滤波器HL(p)；（4）模拟域频率变换：将模拟原型滤波器HL(p)转换成相应的模拟滤波器Ha(s)；（5）双线性变换：用双线性变换将模拟滤波器Ha(s)变换成期望的数字滤波器HD

(z)。745.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计2.数字域频率变换设计步骤（1）预畸变：用式（5.3-12）将期望的数字滤波器HD

(z)的数字边界频率转换成同类型模拟滤波器Ha(s)的边界频率；（2）模拟域指标变换：将Ha(s)性能指标转换成模拟原型低通滤波器的性能指标，可以用表5.4-1；（3）设计模拟低通原型滤波器HL(p)；（4）双线性变换：用双线性变换将模拟滤波器HL(p)变换成期望的数字滤波器HL

(z)；（5）模拟域频率变换：将数字低通滤波器HL

(z))转换成相应的数字滤波器HD

(z)

。755.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器用Buttord、Cheb1ord、Cheb2ord和Ellipord函数可以得到模拟或数字滤波器的最低阶数和归一化截止频率；用Butter、Cheby1、Cheby2和Ellip函数可以得到模拟或数字滤波器的系统函数，用Besself和Besselap可以设计贝塞尔模拟滤波器。在给定滤波器性能指标的条件下，希望用最小阶次的滤波器来实现。解：其程序dsp501.m765.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器Wp=1000;Ws=2500;Rp=1;Rs=30;w=linspace(1,3000,1000);[N1,Wn1]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N1

[N2,Wn2]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N2 [N3,Wn3]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N3[N4,Wn4]=Ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N4 [b1,a1]=butter(N1,Wn1,'s');h1=freqs(b1,a1,w);subplot(1,4,1);plot(w,abs(h1));grid;xlabel('rad/s');title('巴特沃思滤波器');[b2,a2]=cheby1(N2,Rp,Wn2,'s');h2=freqs(b2,a2,w);subplot(1,4,2);plot(w,abs(h2));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅰ型滤波器');[b3,a3]=cheby2(N3,Rs,Wn3,'s');h3=freqs(b3,a3,w);subplot(1,4,3);plot(w,abs(h3));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅱ型滤波器');[b4,a4]=Ellip(N4,Rp,Rs,Wn4,'s');h4=freqs(b4,a4,w);subplot(1,4,4);plot(w,abs(h4));grid;xlabel('rad/s');title('椭圆滤波器');在命令窗口执行dsp501.m后，命令窗口会出现N1=5，N2=4，N3=4，N4=3，说明同样的性能指标，不同滤波器的阶数不同。775.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器例5.5-2

分别设计5阶贝塞尔模拟低通和高通滤波器，通带截止频率1000Hz。绘制滤波器的幅频特性和相频特性曲线。n=5;wp=2*pi*1000;w=0:2*