2024-2025学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE8.3列联表与独立性检验必备学问·素养奠基1.分类变量:用来区分不同的现象或性质的随机变量,其取值可以用实数表示.2.2×2列联表及随机事务的概率(1)2×2列联表:假如随机事务X与Y的样本数据如下表格形式Y=0Y=1合计X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+da+b+c+d在这个表格中,核心的数据是中间的4个格子,所以这样的表格通常称为2×2列联表.(2)2×2列联表中随机事务的概率:如上表,记n=a+b+c+d,则事务{Y=0}发生的概率可估计为__P(Y=0)=QUOTE____________________________;

事务QUOTE发生的概率可估计为__PQUOTE=QUOTE_______________________;

事务QUOTE发生的概率可估计为__PQUOTE=QUOTE____________.

事务QUOTE发生的概率可估计为__PQUOTE=QUOTE___________.

3.独立性检验(1)零假设:设X和Y为定义在Ω上,取值于{0,1}的成对分类变量.由于QUOTE和QUOTE,QUOTE和{Y=1}都是互为对立事务,故要推断事务QUOTE和{Y=1}之间是否有关联,须要推断假定关系__H0:P(Y=1|X=0)=PQUOTE__是否成立.通常称H0为零假设.

(2)独立性检验:利用随机变量χ2来推断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(3)公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d为样本容量.(4)比照表及检验规则:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828当χ2≥xα时就推断“X与Y不独立”,这种推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,可以认为“X与Y独立”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)2×2列联表只有4个格子.()(2)χ2的大小是推断事务A与B是否相关的统计量.()(3)当χ2≥3.841时有95%的把握说事务A与B有关.()提示:(1)×.2×2列联表核心的数据是中间的4个格子.(2)√.依据独立性检验意义可知.(3)√.由比照表可得.2.通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110经计算得χ2=QUOTE≈7.8.则正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选C.依据独立性检验的思想方法,正确选项为C.3.下面是一个2×2列联表:y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a,b的值分别为________.

【解析】a=73-21=52,b=100-46=54.答案:52,54关键实力·素养形成类型一列联表与等高条形图【典例】某学校对高三学生作了一项调查发觉:在平常的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情惊慌,性特别向的学生594人中有213人在考前心情惊慌.(1)依据以上数据,作出考前心情与性格的列联表,并求性特别向的学生中考前心情惊慌的概率.(2)作出等高条形图,利用图形推断考前心情惊慌与性格类型是否有关系.【思维·引】(1)弄清题意,列出2×2列联表,依据列联表,用频率估计概率.(2)利用列联表中数据,画出等高条形图,直观推断.【解析】(1)作列联表如下:性格内向性特别向合计考前心情惊慌332213545考前心情不惊慌94381475合计4265941020由列联表中数据可得,性特别向的学生中考前心情惊慌的概率为QUOTE=QUOTE.(2)相应的等高条形图如图所示:图中阴影部分表示考前心情惊慌与考前心情不惊慌中性格内向的人数所占的比例,从图中可以看出考前心情惊慌的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不惊慌样本中性格内向的人数占的比例高,可以认为考前惊慌与性格类型有关.【内化·悟】列2×2列联表的关注点1.作2×2列联表时,留意应当是4行4列,计算时要精确无误.2.作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.【类题·通】利用等高条形图推断两个分类变量是否相关的步骤【习练·破】1.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动.依据以上数据建立一个2×2列联表.【解析】列表如下:看电视运动合计女432770男213354合计6460124

2.网络对现代人的生活影响较大,尤其是对青少年,为了解网络对中学生学习成果的影响,某地区教化主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查,发觉其中常常上网的有200人,这200人中有80人期末考试不及格,而另外800人中有120人不及格.利用图形推断学生常常上网与学习成果有关吗?【解析】依据题目所给的数据得到如下2×2列联表:常常上网不常常上网合计不及格80120200及格120680800合计2008001000得出等高条形图如图所示:比较图中阴影部分的高可以发觉常常上网不及格的频率明显高于常常上网及格的频率,因此可以认为常常上网与学习成果有关.【加练·固】当某矿石粉厂生产一种矿石粉时,在数天内就有部分工人患职业性皮肤炎.在生产季节期间,随机抽取车间工人抽血化验,75名穿新防护服的车间工人中5例阳性,70例阴性,28名穿旧防护服的车间工人中10例阳性,18例阴性,请用图形判定这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效.(注:显阴性即未患皮肤炎)【解析】由题目所给的数据得2×2列联表:阳性例数阴性例数合计穿新防护服57075穿旧防护服101828合计1588103相应的等高条形图如图所示.图中两个深色的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率,从图中可以看出,穿旧防护服呈阳性的频率高于穿新防护服呈阳性的频率.因此,可以认为新防护服比旧防护服对预防这种皮肤炎有效.类型二独立性检验【典例】为加强环境爱护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)依据所给数据,完成下面2×2列联表:[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依据(2)中的列联表,推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:χ2=QUOTE.P(χ2≥xα)0.050.010.001xα3.8416.63510.828【思维·引】(1)用频率估计概率,从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)依据题目所给的数据填写2×2列联表即可;(3)计算χ2的值,比照题目中的表格,得出统计结论.【解析】(1)依据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为QUOTE=0.64.(2)依据抽查数据,可得2×2列联表:[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依据(2)的列联表得χ2=QUOTE≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【素养·探】本题考查独立性检验的应用,同时考查了数据分析与数学建模的核心素养.本例若把2×2列联表中的数据调整如下:[0,150](150,475][0,75]7010(75,115]812推断是否有99.9%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?【解析】χ2=QUOTE≈21.037>10.828=x0.001,所以有99.9%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【类题·通】独立性检验的关注点(1)步骤:列表,计算,推断;(2)留意:①χ2计算公式较困难,一是公式要清晰;二是代入数值时不能张冠李戴;三是计算时要细心;②推断时把计算结果与临界值比较,其值越大,有关的可信度越高.【习练·破】某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满足或者不满足的评价,得到下面列联表:满足不满足男顾客4010女顾客3020(1)分别估算男、女顾客对该商场服务满足的概率?(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:χ2=QUOTEP(χ2≥xα)0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满足的比率为QUOTE=0.8,因此男顾客对该商场服务满足的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满足的比率为QUOTE=0.6,因此女顾客对该商场服务满足的概率的估计值为0.6.(2)χ2=QUOTE≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【加练·固】调查某医院某段时间内婴儿诞生的时间与性别的关系,得到下面的数据:诞生时间在晚上的男婴为24人,女婴为8人;诞生时间在白天的男婴为31人,女婴为26人.(1)将下面的2×2列联表补充完整;晚上白天合计男婴女婴合计(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与诞生时间有关系?【解析】(1)晚上白天合计男婴243155女婴82634合计325789(2)由所给数据计算χ2=QUOTE≈3.689>2.706=x0.1.因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与诞生的时间有关系.类型三独立性检验的综合应用【典例】手机厂商推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机运用者(200名女性、300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:女性用户分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2040805010男性用户分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数4575906030(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算详细值,给出结论即可);(2)把评分不低于70分的用户称为“认可用户”,依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,能否认为“是否是认可用户”与性别有关?参考公式及数据:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.P(χ2≥xα)0.10.050.01xα2.7063.8416.635【思维·引】(1)利用频数分布表中所给数据求出各组的频率,利用频率除以组距得到纵坐标,从而可得频率分布直方图,由频率分布直方图视察女性用户和男性用户评分的集中与分散状况即可比较波动的大小;(2)利用公式求出χ2的值,与临界值比较,即可得出结论.【解析】(1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示:由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.(2)由题可得2×2列联表如下:女性用户男性用户合计认可用户140180320不认可用户60120180合计200300500则χ2=QUOTE≈5.208>2.706=x0.1,故依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,可以认为“是否是认可用户”与性别有关.【类题·通】独立性检验综合问题的命题方向独立性检验的考查,往往与概率和抽样统计图等一起考查,这类问题的求解往往按各小题及提问的依次,一步步进行下去,是比较简单解答的,考查单纯的独立性检验往往用小题的形式,而且χ2的公式一般会在原题中给出.【习练·破】某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采纳A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改试验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成果进行统计,作出茎叶图如图.记成果不低于90分者为“成果优秀”.(1)在乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成果中随机抽取2个,求抽出的两个均“成果优秀”的概率;(2)由以上统计数据作出列联表,并推断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成果优秀”与教学方式有关?【解析】(1)从不低于86分的成果中随机抽取两个包含的基本领件是:(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有15种结果,符合条件的事务为(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有10种结果,依据等可能事务的概率得到P=QUOTE=QUOTE.(2)由已知数据得甲班乙班合计成果优秀156成果不优秀191534合计202040依据列联表中的数据,计算得χ2=QUOTE≈3.137,由于3.137>2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为:“成果优秀”与教学方