2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE10.1.3古典概型素养目标·定方向素养目标学法指导1．古典概型的计算方法.(数学抽象)2．运用古典概型计算概率.(数学运算)3．在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)1．明确古典概型的基本特征，依据实际问题构建概率模型，解决简洁的实际问题.2．留意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数削减).必备学问·探新知学问点1随机事务的概率对随机事务发生__可能性大小__的度量(数值)称为事务的概率，事务A的概率用__P(A)__表示.学问点2古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为__古典概率__模型，简称__古典概型__.学问点3古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事务A包含其中的k个样本点，则定义事务A的概率P(A)＝__eq\f(k,n)__＝__eq\f(nA,nΩ)__.[学问解读](1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事务(除不行能事务)都可以表示成某些样本点的和.(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要视察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出全部样本点)；②依据实际问题情景推断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事务A包含的样本点个数，求出事务A的概率.关键实力·攻重难题型探究题型一古典概型的推断典例1下列试验是古典概型的是__①②④__.①从6名同学中选出4人参与数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.[分析]紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行推断.[解析]①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.[归纳提升]推断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.【对点练习】❶下列是古典概型的是(C)A．随意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件时B．求随意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本领件时C．从甲地到乙地共n条路途，求某人正好选中最短路途的概率D．抛掷一枚匀称硬币首次出现正面为止[解析]A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本领件是无限的，故B不是；C项满意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本领件可能会无限个，故D不是.题型二古典概型的概率计算典例2甲、乙两校各有3名老师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的老师中各任选1名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师性别相同的概率；(2)若从报名的6名老师中任选2名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师来自同一所学校的概率.[分析](1)要求2名老师性别相同的概率，应先写出全部可能的结果，可以采纳列举法求解.(2)要求选出的2名老师来自同一所学校的概率，应先求出2名老师来自同一所学校的基本领件.[解析](1)甲校2名男老师分别用A，B表示，1名女老师用C表示；乙校1名男老师用D表示，2名女老师分别用E，F表示.从甲校和乙校报名的老师中各任选1名的全部可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.从中选出2名老师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名老师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的6名老师中任选2名的全部可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.从中选出2名老师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名老师来自同一所学校的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[归纳提升]1．对于古典概型，任何事务A的概率为：P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数m,基本领件的总数n).2．求古典概型概率的步骤为：(1)推断是否为古典概型；(2)算出基本领件的总数n；(3)算出事务A中包含的基本领件个数m；(4)算出事务A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求n时，应留意这n种结果必需是等可能的，在这一点上比较简洁出错.3．对于事务总数较多的状况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题须要的列举出来分析即可.【对点练习】❷某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的样本点有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，则所求事务的概率为p＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个.包括A1但不包括B1的事务所包含的样本点有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事务的概率为p＝eq\f(2,9).题型三较困难的古典概型的概率计算典例3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称.小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.[解析]用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本领件总数n＝16．(1)记“xy≤3”为事务A则事务A包含的基本领件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事务B，“3<xy<8”为事务则事务B包含的基本领件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事务C包含的基本领件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.[归纳提升]解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时须要留意以下两个问题：(1)试验必需具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.(2)计算基本领件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出全部基本领件.【对点练习】❸甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩嬉戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此嬉戏是否公允？说明你的理由.[解析](1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12．(2)不公允.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝eq\f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq\f(7,12)，因为eq\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此嬉戏不公允.易错警示对“有序”与“无序”推断不准而致错典例4甲、乙两人参与普法学问竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.[错解]因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[错因分析]错解中忽视了甲、乙两人依次抽取1道题与依次有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本领件总数应为20．[正解]因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).[误区警示]在计算基本领件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误.突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”.【对点练习】❹小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率.[解析]将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5．(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事务A＝“所选的题不是同一种题型”，则事务A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6．(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回