2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.1.2分析法课时素养评价含解析新人教A版选修1-2

PAGE六分析法(20分钟35分)1.当x∈(1,2]时,使不等式x2+mx+4>0恒成立的m的取值范围是 ()A.(-∞,5) B.(-∞,-5]C.(3,+∞) D.(-4,+∞)【解析】选D.因为x∈(1,2]时,不等式x2+mx+4>0恒成立⇔x∈(1,2],m>-x-QUOTE恒成立⇔x∈(1,2],m>QUOTE.由-QUOTE≤-2QUOTE=-4,当且仅当x=QUOTE,即x=2时QUOTE=-4,所以m>-4.2.设a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,则有 ()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc【解析】选C.由|a-d|<|b-c|得(a-d)2<(b-c)2,即a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,①又因为a+d=b+c,所以(a+d)2=(b+c)2,即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,②由①②得-4ad<-4bc,所以ad>bc.3.QUOTE-QUOTE<QUOTE成立的充要条件是 ()A.ab(b-a)>0 B.ab>0且a>bC.ab<0且a<b D.ab(b-a)<0【解析】选D.QUOTE-QUOTE<QUOTE⇔(QUOTE-QUOTE)3<(QUOTE)3,⇔a-b-3QUOTE+3QUOTE<a-b⇔QUOTE<QUOTE,⇔ab2<a2b⇔ab(b-a)<0.4.某题字迹有污损,大致内容是“已知|x|≤1,■,用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”.估计污损部分的文字内容为 ()A.|x|≤1 B.|y|≤1C.|x+y|≤1 D.|xy|≤1【解题指南】本题可用分析法探求条件,先将不等式两边平方,然后再分析.【解析】选B.要证|x+y|≤|1+xy|,需证(x+y)2≤(1+xy)2,化简得x2+y2≤1+x2y2,(x2-1)(1-y2)≤0,因为|x|≤1,又要使不等式成立,所以估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”5.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使QUOTE+QUOTE≥2成立的条件的序号是________.

【解析】要使QUOTE+QUOTE≥2只需QUOTE>0且QUOTE>0成马上a,b不为0且同号即可,故①③④能使QUOTE+QUOTE≥2成立.答案:①③④6.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边,求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【证明】要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,即证QUOTE+QUOTE=QUOTE,只需证QUOTE+QUOTE=3,化简,得QUOTE+QUOTE=1,即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),所以只需证c2+a2=b2+ac.因为△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,所以∠B=60°.所以cosB=QUOTE=QUOTE.所以a2+c2-b2=ac.所以原式成立.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.要证a2+b2-1-a2b2≤0只要证明 ()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-QUOTE≤0C.QUOTE-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证QUOTE<QUOTEa”索的因应是 ()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.由题意知QUOTE<QUOTEa⇐b2-ac<3a2⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.3.设x>0,y>0,A=QUOTE,B=QUOTE+QUOTE,则A,B的大小关系为 ()A.A>B B.A≥B C.A<B D.A≤B【解析】选C.A=QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE<QUOTE,QUOTE<QUOTE,所以QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,所以A<B.4.下列不等式不成立的是 ()A.a2+b2+c2≥ab+bc+caB.QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0,b>0)C.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE(a≥3)D.QUOTE+QUOTE>2QUOTE【解析】选D.对A选项,要证a2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≥0,只需证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,明显成立,故A正确.对B选项,要证QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0,b>0),只需证(QUOTE+QUOTE)2>a+b,只需证2QUOTE>0,明显成立,故B正确.对C选项,要证QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE,只需证QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,只需证(QUOTE+QUOTE)2<(QUOTE+QUOTE)2,只需证2a-3+2QUOTE<2a-3+2QUOTE,只需证a(a-3)<(a-2)(a-1),只需证a2-3a<a2-3a+2,明显0<2,故C正确.5.已知a,b,c,d为正实数,且QUOTE<QUOTE,则 ()A.QUOTE<QUOTE<QUOTE B.QUOTE<QUOTE<QUOTEC.QUOTE<QUOTE<QUOTE D.以上均可能【解析】选A.先取特值检验.因为QUOTE<QUOTE,可取a=1,b=3,c=1,d=2,则QUOTE=QUOTE,满意QUOTE<QUOTE<QUOTE.所以B,C,D不正确.要证QUOTE<QUOTE,因为a,b,c,d为正实数,所以只需证a(b+d)<b(a+c),即证ad<bc.只需证QUOTE<QUOTE.而QUOTE<QUOTE成立,所以QUOTE<QUOTE.同理可证QUOTE<QUOTE.故A正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将下面用分析法证明QUOTE≥ab的步骤补充完整:要证QUOTE≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证______,即证________,由于________明显成立,因此原不等式成立.

【解析】用分析法证明QUOTE≥ab的步骤为:要证QUOTE≥ab成立,只需证a2+b2≥2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0,即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0明显成立,所以原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥07.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满意条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,【解析】本题答案不唯一,要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C答案:对角线相互垂直8.设a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值为________.

【解析】依据条件可知,欲求QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值.只需求(a+b+c)QUOTE的最小值,因为(a+b+c)QUOTE=3+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥3+2+2+2=9(当且仅当a=b=c时取“=”).答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知m>0,n>0,且m+n=1,试用分析法证明不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.【证明】要证QUOTE·QUOTE≥QUOTE,只需证mn+QUOTE≥QUOTE,只需证mn+QUOTE-2≥QUOTE,只需证4(mn)2-33mn+8≥0,即证mn≥8或mn≤QUOTE,而由1=m+n≥2QUO