同步优化设计2024年高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第2课时空间中的距离问题课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法探讨立体几何中的度量关系第2课时空间中的距离问题课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4 B.2 C.3 D.1答案B解析点P到平面OAB的距离为d=|OP·n2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到l的距离为()A.145 B.2 C.3 D.答案A3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2 B.3 C.2 D.1答案D解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,22),E(0,2,2),DB=(2,2,0),DE=(0,2,2),易知AC1∥平面BED.设n=(x,y,z)是平面BED的法向量.则n取y=1,则n=(-1,1,-2)为平面BED的一个法向量.又DA=(2,0,0),所以点A到平面BDE的距离是d=|n·DA故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为()A.855 B.2C.8515 D答案C解析如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-23,2,0),P(0,0,43),CB=(23,2,0),BP=(0,-4,43).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则m·CB取y=3,所以m=(-1,3,1).因为AP=(0,4,43),所以d=|AP所以点A到平面PBC的距离为855.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652 B.214 C.53 D.答案D解析∵OP=12(OA+OB)∴PC=∴|PC|=4+16.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.

答案13解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=|PB∴点P到直线BD的距离为1357.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.

答案3解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,得x=-3,y=0,∴n=(-3,0,1).∴点B1到平面A1BC的距离d=|n8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n则y令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),∴点D1到平面A1BD的距离d=|A易证平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为339.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,F12,1所以EF=PE=设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|DE因此点D到平面PEF的距离为317(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.因为AE=0,12,0,所以点所以直线AC到平面PEF的距离为1717等级考提升练10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.1010 B.C.35 D.答案B解析以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴BE=(2,0,0),FE=(-2,2,0),EG=(-2,-4,2).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则m令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),∴点B到平面EFG的距离d=|BE11.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10 B.3C.83 D.答案D解析由题意可知PA=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,则h=|PA12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.6a6 B.3a6 C.答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则n令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|D13.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A.223 BC.2 D.22答案A解析∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),∴点A到直线BC的距离为d=|=1-(-114.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.

答案49解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则n即(∴可取n=-3又AD=(-7,-7,7),∴点D到平面ABC的距离d=|AD15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为.

答案2解析建立如图所示空间直角坐标系,由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),则A1B=(0,2,-1),A1C1设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则2取x=2,则n=(2,1,2).又BB1=(0,0,1),故d=16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求直线AD到平面PBC的距离.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴CF⊥∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)∴m=2a,即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(a,a,0),得d=|AC·(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由n取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴h为AD到平面PBC的距离,∴h=|AP·新情境创新练17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,解取AD的中点O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),