2025版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列二-三角函数学案新人教版

PAGE高考大题规范解答系列(二)——三角函数考点一三角函数的综合问题例1已知向量a＝(eq\r(2)sin2x，eq\r(2)cos2x)，b＝(cosθ，sinθ)(|θ|<eq\f(π,2))，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝eq\r(2)，且b＝5，c＝2eq\r(3)，求△ABC外接圆的面积．[分析](1)看到求f(x)的解析式，想到对a·b进行化简；看到求f(x)的单调减区间，想到y＝sinx的单调减区间；(2)看到求△ABC外接圆的面积，想到求半径r和正弦定理．[标准答案]——规范答题步步得分(1)f(x)＝a·b＝eq\r(2)sin2xcosθ＋eq\r(2)cos2xsinθ＝eq\r(2)sin(2x＋θ)， 2分eq\x(得分点①)∵函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，∴2×eq\f(π,6)＋θ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴θ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又|θ|<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))). 4分eq\x(得分点②)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z. 6分eq\x(得分点③)(2)∵f(A)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\r(2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝1.∵A∈(0，π)，∴2A＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,6). 8分eq\x(得分点④)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋12－2×5×2eq\r(3)coseq\f(π,6)＝7，∴a＝eq\r(7). 10分eq\x(得分点⑤)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝2R＝eq\f(\r(7),\f(1,2))＝2eq\r(7)，∴R＝eq\r(7)，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π. 12分eq\x(得分点⑥)[评分细则]①正确化简求出f(x)的解析式得2分．②正确利用三角函数的对称轴求对θ的值，得2分．③正确利用y＝sinx的单调减区间，求出f(x)的减区间，得2分．④正确利用特别角的三角函数值求对角A，得2分．⑤正确利用余弦定理求对a的值，得2分．⑥正确利用正弦定理求对半径r和圆的面积得2分．[名师点评]1．核心素养：三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查敏捷运用三角公式进行三角变换的实力，以及“数学运算”素养的达成度．2．解题技巧：(1)要擅长抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))必需求对．(2)要清楚呈现求角A的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径r.〔变式训练1〕(2024·石家庄模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(eq\r(3)cosx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；(2)在△ABC中，BC＝eq\r(7)，sinB＝3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．[解析](1)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由题意可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又0<A<π，所以eq\f(π,6)<2A＋eq\f(π,6)<eq\f(13π,6)，所以2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，故A＝eq\f(π,3).设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccosA.所以a2＝b2＋c2－bc＝7，又sinB＝3sinC，所以b＝3c故7＝9c2＋c2－3c2，解得所以b＝3，△ABC的周长为4＋eq\r(7).考点二解三角形问题例2(2024·山东省青岛市高三模拟检测)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcosA＋eq\f(\r(3),3)a＝c.(1)求cosB；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，BC＝eq\r(6)，求AB的长．[分析](1)看到求cosB想到在三角形中利用边化为三角函数求解．(2)看到求AB的长想到将AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求解．[标准答案]——规范答题步步得分(1)在△ABC中，由正弦定理得sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sinC， 2分eq\x(得分点①)又C＝π－(A＋B)，所以sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sin(A＋B)，故sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sinAcosB＋cosAsinB， 4分eq\x(得分点②)所以sinAcosB＝eq\f(\r(3),3)sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝eq\f(\r(3),3). 6分eq\x(得分点③)(2)∵∠D＝2∠B，∴cosD＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)， 7分eq\x(得分点④)又在△ACD中，AD＝1，CD＝3，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝1＋9－2×3×(－eq\f(1,3))＝12，∴AC＝2eq\r(3)， 9分eq\x(得分点⑤)在△ABC中，BC＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(3)，cosB＝eq\f(\r(3),3)，∴由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即12＝AB2＋6－2·AB×eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)，解得AB＝3eq\r(2).故AB的长为3eq\r(2). 12分eq\x(得分点⑥)[评分细则]①正确利用正弦定理化边为三角函数，得2分．②正确利用两角和与差的正弦公式，得2分．③正确化角求对cosB，得2分．④正确利用倍角公式求对cosD，得1分．⑤正确利用余弦定理求对AC，得2分．⑥正确利用余弦定理求对AB，得2分．[名师点评]1．核心素养：解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查敏捷运用公式并通过“数学运算”解决问题的实力．2．解题技巧：要擅长抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R；(2)中利用余弦定理分别在△ADC和△ABC中求出AC、AB.〔变式训练2〕(2024·全国Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．[解析]本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理．(1)解：由已知得sin2A＋cosA＝eq\f(5,4)，即cos2A－cosA＋eq\f(1,4)＝0.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(1,2)))2＝0，cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝eq\f(\r(3),3)sinA.由(1)知B＋C＝eq\f(2π,3)，所以sinB－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\v