2023-2024学年江西省大余县新城中学高三第二学期4月模拟考试数学试题

2022-2023学年江西省大余县新城中学高三第二学期4月模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）A． B． C． D．3．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．404．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤5．已知函数满足=1，则等于（）A．- B． C．- D．6．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．637．已知函数,则函数的图象大致为（）A． B．C． D．8．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（）A． B． C． D．09．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．10．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．1511．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．12．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．或 B． C． D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______14．在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.15．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．16．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.18．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．19．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且（1）求角的大小；（2）求的值.20．（12分）已知函数，它的导函数为．（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：．21．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．22．（10分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求几何体的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得：，解得2n＝12，∴n21．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=404．B【解析】

依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．C【解析】

设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，，因为，整理得，因为，，，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.6．D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．A【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.8．B【解析】

根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.9．A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．10．A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.11．B【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，，单调递增，∵，故不等式的解集等价于不等式的解集．．∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.12．C【解析】试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【详解】解：如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．14．【解析】

利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】，且，，，该双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.15．3【解析】

设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），因此AB•，同理可得：AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t，得S.∵t2，∴S△ABC.当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.解之得a＝3或a.∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．【解析】

由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.【详解】解：函数是定义在上的奇函数，.由周期为，可知，，..故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.【详解】解:（1）因为,所以,当,即时,；当,即时,；当,即时,.（2）由得,当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；综上,满足题意的k的范围为【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.18．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．19．（1）；（2）.【解析】

（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理得到【详解】解：（1）由已知，得又∵∴∴,因为得∵∴.（2）∵又由余弦定理，得∴【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题20．（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；

当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明．【详解】(1)的定义域为当时，，，易知为上的增函数，又，所以是的唯一零点；(2)证明：当时，，①若，则，所以成立，②若，设，则，令，则，因为，所以，从而在上单调递增，所以，即，在上单调递增；所以，即，故.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．21．（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【详解】解：（1）由，得，因为，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22．（1）见解析；（2