安徽省合肥市蜀山区五十中学新校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

合肥蜀山五十中新校2023-2024学年九上期中数学考试卷本卷沪科版21.1～22.1、共4页三大题、23小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列关于的函数中，是二次函数的是()A. B. C. D.2.若，则的值等于（）A B. C. D.3.将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是()A. B. C. D.4.下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（）A. B. C. D.5.对于抛物线，下列描述错误的是（）A.抛物线的开口向下 B.对称轴为直线 C.y有最小值1 D.当时，y随x的增大而增大6.若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.若函数的图象与轴只有1个公共点，则常数的值是（）A1 B.2 C.0或1 D.18.如图．在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝2：1，DE＝4，则BC（）A.6 B.7 C.8 D.99.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.410.如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是_____．12.如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在x轴、y轴上，顶点P在反比例函数图像上，点Q是矩形内的一点，连接，若的面积之和是5，则k=____.13.如图，线段，点C是线段的黄金分割点，且，设以为边的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为_____（填：“”、“”或“”）．14.已知点是抛物线上一动点．（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，且，求的值．16.在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数解析式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？18.如图，已知中，D是的中点，E是上一点，，连接与相交于点F，求的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.对于抛物线．（1）它与x轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，直接写出此时t的取值范围．20.如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，，轴于，四边形面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）．六、（本大题1小题，满分12分）21.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为．（1）求抛物线的表达式：（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标．七、（本大题1小题，满分12分）22.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．八、（本大题1小题，满分14分）23.跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为0.8米，身高为1.5米的小红站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果小明站在之间，且离点的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高是多少？（3）已知同学们一起在之间跳长绳时，只要绳子甩到最高处时高度不小于他们的身高，且同学之间同方向站立时脚跟之间距离超过0.65米就可以一起玩，结合函数图象的性质，现在有10名同是身高1.5米的同学想一起玩跳绳，请问可以吗？

合肥蜀山五十中新校2023-2024学年九上期中预测数学作业试卷本卷沪科版21.1～22.1、共4页三大题、23小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列关于的函数中，是二次函数的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．当时，不是二次函数，故A不符合题意；B．，不是二次函数，故B不符合题意；C．，是一次函数，不是二次函数，故C不符合题意；D．，是二次函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数．2.若，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据可设，再代入计算即可得．【详解】解：由题意，可设，则，故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．3.将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：∵∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是，即．故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4.下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：A．当时，对于，y随x增大而减小，故选项不符合题意；B．当时，对于，y不一定随x的增大而减小，故选项不符合题意；C．当时，对于，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；D．当时，对于，y随x的增大而增大，故选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数、二次函数和反比例函数，熟练掌握函数的性质是解题的关键．5.对于抛物线，下列描述错误的是（）A.抛物线的开口向下 B.对称轴为直线 C.y有最小值1 D.当时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．【详解】解：对于，∵，顶点坐标为，对称轴为直线，∴抛物线的开口向下，y有最大值为，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x的增大而增大，观察四个选项，A、B、D均正确，C错误，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．6.若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合反比例函数的增减性，在第二象限，则最大，，在第四象限，y随x的增大而增大，则，故可得出答案．【详解】解：∵，函数图象如图，

∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了由反比例函数的性质判断函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的增减性是关键．7.若函数的图象与轴只有1个公共点，则常数的值是（）A.1 B.2 C.0或1 D.1【答案】C【解析】【分析】由于函数中的系数为，故需要对分情况讨论，当时，函数为一次函数，当时，函数为二次函数，利用图象与轴只有1个公共点，即可求出的值．【详解】解：由题意可得：①当时，函数，则为一次函数，与轴只有1个公共点，满足题意，②当时，函数，则为二次函数，∵图象与轴只有1个公共点，∴，解得：，综上所述：或，故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程和一次函数，熟练掌握它们的性质和对二次项系数分类讨论是解题的关键．8.如图．在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝2：1，DE＝4，则BC为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根据DE∥BC易证△ADE∽△ABC，根据对应边相似比相等即可求得BC的值．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，又DE=4，∴，∴BC=6，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．9.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【详解】分析：直接利用二次函数图象开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选B．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．10.如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】当时，；当时，，结合图形，即可求解．【详解】解：当时，如图，∴，，∴，此时抛物线开口向上．当时，如图，∴，，∵，四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，此时抛物线的开口向下．综上，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质求解，即可得到答案．【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握反比例函数中，，函数图象在第一、三象限内；，函数图象在第二、四象限内．12.如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在x轴、y轴上，顶点P在反比例函数的图像上，点Q是矩形内的一点，连接，若的面积之和是5，则k=____.【答案】-10【解析】【分析】设，利用三角形面积公式，分别用m和OA，OB表示和面积，求出，结合反比例函数k的几何意义，可求得．【详解】解：设，，

，

，

、的面积之和是5，

，

，

，

．

故答案为10．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义；三角形面积的求法引入参变量参与运算，进行解题是解决本题的关键．13.如图，线段，点C是线段的黄金分割点，且，设以为边的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为_____（填：“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．14.已知点是抛物线上一动点．（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．【答案】①.##②.0或5##5或0【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．【详解】解：（1）∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点M到y轴的距离不大于1，∴，∴此时点M在对称轴的左侧，∵，∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，∴当时，b取最大值，且最大值为，当时，b取最小值，且最小值为，∴b的取值范围是；故答案为：；（2）∵点到直线的距离不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴点M应为或上的动点，当时，，当时，，综上分析可知，的值为0或5；故答案为：0或5．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，且，求的值．【答案】【解析】【分析】设，进而用含的式子表示出、、，再代入已知等式中，求出的值，进而得出、、的值，即可计算求值．【详解】解：设，，，，，解得：，，，，．【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值，利用“设k法”分别表示并求出a、b、c的值是解题关键．16.在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数解析式．【答案】【解析】【分析】根据条件得到点在第二象限，求得点一定在第四象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，将点代入即可求得反比例函数解析式．【详解】解：∵点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，∴点一定在第四象限，∵点在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，∴反比例函数的图象经过，两点，∴将点代入中得：，∴反比例函数解析式为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，判断反比例函数的图象经过，两点是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？【答案】水面宽度为米【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为，∴设顶点式，代入A点坐标，可得，解得：，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度为米．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．18.如图，已知中，D是的中点，E是上一点，，连接与相交于点F，求的值．【答案】【解析】【分析】过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，则，，从而得到，再利用中点的定义可知，再根据可知，从而得到．【详解】解：过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，∵，∴，∴，∴，又∵D是的中点，∴．又∵，∴，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线并于平行证明三角形相似是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.对于抛物线．（1）它与x轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，直接写出此时t的取值范围．【答案】（1），；；（2）见解析（3）t的取值范围为【解析】【分析】（1）把抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标，令，解出的值，即可得到x轴交点的坐标；（2）利用描点法画出函数图像即可；（3）先利用一元二次方程根的判别式，求得，再将和分别代入方程，求出的值，即可得到t的取值范围．【小问1详解】解：抛物线，令，则，解得：，，抛物线与x轴交点的坐标为，，顶点坐标为，故答案为：，；；【小问2详解】解：列表……01234…………30

03……利用描点法画抛物线如下图：【小问3详解】解：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，t的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点以及顶点坐标，画二次函数图象，结合图象判定一元二次方程解的情况，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．20.如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，，轴于，四边形面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）．【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为（2）（3）或【解析】【分析】（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式：和，把点的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；（2）两个解析式联立，求得点的坐标即可；（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．【小问1详解】解：设反比例函数的解析式和一次函数的解析式，图象经过点，，反比例函数解析式为，又四边形面积为4．，，，，，将、两点代入，得，解得，一次函数的解析式为；【小问2详解】解：联立组成方程组得，解得，，点；【小问3详解】解：由图象可得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．∴当x取值范围为或，一次函数的值大于反比例函数的值．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握．六、（本大题1小题，满分12分）21.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为．（1）求抛物线的表达式：（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P作轴于H，交于点Q，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解；【小问1详解】解：∵点B，点C在抛物线图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：；【小问2详解】解：设直线的解析式为，代入B、C坐标得，解得：，，∴，过点P作轴于点H，交于点Q，如图，设，则，∴，∴；∵，∴时，最大，为．此时；【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．七、（本大题1小题，满分12分）22.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．【答案】（1）y＝﹣2x+200（40≤x≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润1800元；（3）55≤x≤80，理由见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W＝1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设