指数幂的拓展导学案 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章指数运算与指数函数§1指数幂的拓展【学习目标】1.理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化.2.了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近得到的思想方法.3.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理的核心素养;通过分数指数幂与根式的互化,培养数学运算的核心素养.◆知识点一分数指数幂1.正分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的mn次幂,记作b=,这就是正分数指数幂2.负分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义a-mn=1【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)224=2-12.(2)若(1-2x)-56有意义,则x≠12. (3)分数指数幂amn(a>0)可以理解为mn个a相乘. (2.根式na(n∈N+)一定有意义吗◆知识点二无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数.至此,指数幂aα中指数的取值范围扩充为R.◆探究点一根式与分数指数幂例1(1)(多选题)下列各式中,根式化成分数指数幂的形式正确的是 ()A.5a6=a6B.13a2=1a2C.6y2=y3(D.(-a)6=a3(2)将-x-32(x>0)变式(多选题)[2024·四川南充高级中学高一月考]已知xy≠0,且9x2y4=-3xy2,则下列不等关系可能成立的是 A.x>0,y>0 B.x<0,y<0C.x>0,y<0 D.x<0,y>0[素养小结](1)根式与分数指数幂互化的规律:根指数指数位置分数的分母,被开方数(式)的指数指数位置分数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.◆探究点二化简、求值例2化简:(1)3(-(2)4(x-(3)x2-2x+1-x2+6变式(1)(多选题)下列各式的值相等的是 ()A.-213和6(-2)2 B.343和13-43 (2)计算:1100-12-(1-2)2-8×[素养小结](1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.拓展化简:5-26第三章指数运算与指数函数§1指数幂的拓展【课前预习】知识点一1.a诊断分析1.(1)×(2)×(3)×[解析](1)224=(2)根据分数指数幂的定义知,要使(1-2x)-56有意义,应满足1-2x>0,即(3)分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘2.解:①若n为奇数,则对任意的实数a,na都有意义②若n为偶数,则当a≥0时,na才有意义,当a<0时,na【课中探究】探究点一例1(1)ABD(2)-1x3[解析](1)6y2=y26=y13(y>0),C错误(2)由分数指数幂的意义可知,-x-32变式BD[解析]因为9x2y4=3|x|·y2,且9x2y4=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>探究点二例2解:(1)3(-0.1)(2)因为x<y,所以4((3)因为-3<x<1,所以原式=(x-1)2-(x+3)2=|x-1|-|x+3|=1变式(1)BC[解析]对于A,6(-2)2=622=226=213,不符合题意;对于B,13-43=343,符合题意;对于C,414=422=212=2(