【压轴专练】专题08 与线段有关的动点问题（解析版）-2021-2022学年七上压轴题攻略

专题08与线段有关的动点问题类型一、求值问题例.如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则=__________．【答案】或或10【解析】当点C是线段的“巧点”时，可能有、、三种情况，①时，，②时，，③时，．故答案为：，或10．【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【答案】是7.5或【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q为AP中点，，∴t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝97.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或．故答案为：（1）是；（2）7.5或．【变式训练2】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m

则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，

∴AC=-t-a，OD=b-4t，

由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，

①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；

∴

②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；

∴

③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：

∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；

④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，

因此，不符合题意舍去，

综上所述，的值为1或．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析【解析】（1）由，，，得，，所以，；（2）当点在点的右侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，，所以，，又因为，所以，当点在点的左侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，所以，，所以所以．综上，线段的长为9；（3）②正确，且．理由如下：因为点与点重合，所以，所以，所以，所以．

【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点，∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2，∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC5DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）．（1）当时，①________cm，②此时线段CD的长度=_______cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．【答案】（1）①4；②3；（2），；（3）不变，．【解析】（1）①当时，（cm），②此时，（cm），∵C是线段BD的中点，则；（2）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，∴当时，，∴；②当时，，∴；（3）不变；因为AB的中点为E，C是BD的中点，所以，，所以，．故答案为:（1）①4；②3；（2），；（3）不变，．类型三、数量关系例.数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．（1）如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；（2）如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．【答案】（1）；2；2；（2），画图见解析．【解析】（1）数轴上两点对应的数分别是，点是的中点，，，，对应的数是2，故答案为：；2；2；（2），点是的中点，，故答案为：（1）；2；2；（2），画图见解析．【变式训练】如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【解析】（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12（2）根据点，的运动速度知．因为，所以，即，所以．（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，因为，所以．又因为，所以，所以；如图，当点在的延长线上时，，综上所述，的长为或．故答案为：（1）12；（2）4cm；（3）或课后作业1.已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）或1．【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm，∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴；综上所述或1，故答案为或1．2.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB．（1）填空：a=，b=，c=（2）点D从点A开始，点E从点B开始，点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1【解析】（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1，∴AB=1-（-2）=3∵，∴点C表示的数为c=1+6=7，故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t,∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,当点F追上点D时，必将超过点B，∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，如图，当DE=EF，即E为DF的中点时，，解得，t=1，如图，当EF=DF，即F为DE中点时，，解得t=，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意．②存在，理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,如图，F在追上E点前，，，，当与t无关时，需满足3+3k=0，即k=-1时，满足条件．故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1课后训练1．如图，点在线段上，点分别是的中点．（1）若，求线段MN的长；（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由．（3）若在线段的延长线上，且满足分别为AC、BC的中点，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）7.5；（2）a，理由见解析；（3）能，MN=b，画图和理由见解析【详解】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC=4.5cm，CN=BC=3cm，

∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．所以线段MN的长为7.5cm．（2）MN的长度等于a，根据图形和题意可得：MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a；（3）MN的长度等于b，根据图形和题意可得：

MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b．2．点A、B在数轴上所对应的数分别是x，y，其中xy满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．（1）求A、B两点间的距离．（2）数轴上在点A的右边有一点D，使得AD+BD＝AB，求点D所对应的数．（3）在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为．【答案】（1）A、B两点间的距离是8；（2）点D表示的数是6；(3)AQ=7．【详解】解：（1）∵（x﹣3）2+|y+5|＝0，且（x﹣3）2≥0，|y+5|≥0∴x﹣3，y+5＝0，∴x=3，y=-5，∴点A表示3，点B表示-5，∴A、B两点间的距离=3+5=8；（2）设点D表示的数为x，DA=x-3，DB=x+5,AB=8,∵AD+BD＝AB，∴x-3+x+5=，解得：x=6，∴点D表示的数是6；（3）设BP的长为m，则AP=3m，∴m+3m=8，解得m=2，∵点Q为线段PB的中点，∴BQ=1，AQ=AB-BQ=8-1=7．3．如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的长；（3）试说明无论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见解