重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷

第1页（共1页）重庆市南开中学2024-2025学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各数中，最小的数是（）A．0 B． C． D．﹣2．（4分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．a5•a4＝a20 B．（a4）3＝a12 C．a12÷a6＝a2 D．（﹣3a2）2＝6a44．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：95．（4分）抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线是（）A． B． C． D．6．（4分）估计的值应在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间7．（4分）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为x（x＞0），则（）A．10（1+2x）＝14.5 B．14.5（1﹣x）2＝10 C．10x2＝14.5 D．10（1+x）2＝14.58．（4分）如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“•”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有5个小圆点，第②个图案中有9个小圆点，第③个图案中有13个小圆点，……按此规律排列下去，则第⑥个图案中小圆点的个数为（）A．21 B．25 C．29 D．339．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是边AB的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，则CF的长为（）A． B． C． D．10．（4分）已知多项式M＝2x2﹣3x﹣2．多项式N＝x2﹣ax+3．①若M＝0，则代数式的值为；②当a＝﹣3，x≥4时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；③当a＝0时，若M•N＝0，则关于x的方程有两个实数根；④当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是﹣＜x＜2．以上结论正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（﹣2）2+||﹣2sin30°+（﹣）﹣1＝．12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之差是360°，则此多边形是边形．13．（4分）准备两组相同的牌，每组3张且大小一样，3张牌的牌面数字分别为1、2、3，则从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字的和大于3的概率为．14．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+4的图象的顶点坐标是．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k＝．16．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为．17．（4分）如图，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，点E在BC上，且BE＝6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF＝．18．（4分）若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+b+c＝d2，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为2+6+1＝32，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为2+5+1≠42，所以2514不是“和方数”，则最大的“和方数”为；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被33整除，则满足条件的M的最小值是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．20．（10分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？21．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE，若CE＝AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点D为BC边上的中点，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌（ASA），∴AC＝，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥．∴四边形ABEC是．又∵，∴平行四边形ABEC是菱形．22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D为BC的中点，DE∥AC交AB于点E，点F从点B出发，沿着折线B→E→D运动，到达点D时停止运动．设点F运动的路程为x，连接DF，记△BDF的面积为y1．（如图1）（1）请直接写出y1关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出y1的函数图象，并写出函数y1的一条性质；（如图2）（3）若直线y2＝kx+4与y1的函数图象只有一个交点，则k的取值范围是．23．（10分）临近中秋，某超市用52500元购进双黄白莲蓉和巧克力流心两种月饼共400盒，其中每盒双黄白莲蓉月饼进价为120元，售价为200元，每盒巧克力流心月饼进价为150元，售价为250元．（1）求购进双黄白莲蓉和巧克力流心各多少盒？（2）中秋节后双黄白莲蓉全部卖出，巧克力流心还有剩余，超市老板担心节后滞销，决定对剩下的月饼降价促销．经调查，中秋节前巧克力流心平均每天卖出12盒，若每降价20元，每天平均可多售3盒．该超市降价后2天将这批月饼全部售完，经计算巧克力流心月饼的总销售额是36900元，求每盒巧克力流心月饼降价多少钱？24．（10分）近日，小南和小开分别从点B、C处出发前往点A处参加校园文化节活动．已知点A位于点B北偏东60°方向，点C位于点A南偏西15°方向，同时位于点B南偏东45°方向，BC＝4000米．（1）求BA路段的长度；（结果保留根号）（2）由于当天要举行马拉松比赛，BA路段实施交通管制，小南计划从B处乘公交车沿B→D→A前往A处，点D在点B的正北方向，同时在点A的正西方向．小开计划骑自行车沿C→A前往A处，若公交车速度为500米/分，小开骑自行车速度为200米/分，小开出发15分钟后小南从点B出发，公交车到站停靠时间忽略不计，请计算小南和小开各自所需时间说明谁先到达A处？（参考数据：，，）25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线经过点A，C，点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DM∥y轴交AC于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P为y轴上一动点，连接AP、DP，当DM+MN取得最大值时，求出此时点D的坐标及|AP﹣DP|的最大值；（3）如图2，点E的坐标为（﹣3，0），连接EC，BC，将抛物线沿射线EC方向平移个单位得到新抛物线，请问新抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CA上一点，连接BD，过点C作CF⊥BD于点E，AF∥BD．（1）如图1，点D在AC上，∠CAF＝75°，BD＝4，求BC的长；（2）如图2，点D在CA延长线上，点F为CE的中点，过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，求证：；（3）如图3，点D在CA的延长线上，∠CDB＝30°，AC＝4，点N在BA的延长线上，点M在AC的延长线上，且AM＝BN，连接BM、DN，当取得最小值时，请直接写出△BDN的面积．

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各数中，最小的数是（）A．0 B． C． D．﹣【解答】解：选项中的4个数，最小的是﹣．故选：C．2．（4分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意．故选：D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．a5•a4＝a20 B．（a4）3＝a12 C．a12÷a6＝a2 D．（﹣3a2）2＝6a4【解答】解：A、a5•a4＝a9，故此选项错误；B、（a4）3＝a12，正确；C、a12÷a6＝a6，故此选项错误；D、（﹣3a2）2＝9a4，故此选项错误；故选：B．4．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：D．5．（4分）抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线是（）A． B． C． D．【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线是y＝（x﹣2）2+1，故选：B．6．（4分）估计的值应在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【解答】解：＝＝，∵，∴，故选：B．7．（4分）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为x（x＞0），则（）A．10（1+2x）＝14.5 B．14.5（1﹣x）2＝10 C．10x2＝14.5 D．10（1+x）2＝14.5【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为x（x＞0）．∵5月份销量为10万辆，∴6月份销量为10（1+x）万辆，∴7月份销量为10（1+x）（1+x）＝10（1+x）2万辆．∵7月份销量为14.5万辆，∴可列方程为10（1+x）2＝14.5．故选：D．8．（4分）如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“•”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有5个小圆点，第②个图案中有9个小圆点，第③个图案中有13个小圆点，……按此规律排列下去，则第⑥个图案中小圆点的个数为（）A．21 B．25 C．29 D．33【解答】解：∵第①个图案中“●”有：1+4×1＝5个，第②个图案中“●”有：1+4×2＝9个，第③个图案中“●”有：1+4×3＝13个，第④个图案中“●”有：1+4×4＝17个，…∴第⑥个图案中“●”有：1+4×6＝25个，故选：B．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是边AB的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，则CF的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴AE＝3，∴DE＝＝＝5，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，∴∠FCD+∠CDF＝90°，∵∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠CFD＝∠ADE，又∵∠A＝∠CFD，∴△CFD∽△DAE，∴，∴，∴CF＝．故选：D．10．（4分）已知多项式M＝2x2﹣3x﹣2．多项式N＝x2﹣ax+3．①若M＝0，则代数式的值为；②当a＝﹣3，x≥4时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；③当a＝0时，若M•N＝0，则关于x的方程有两个实数根；④当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是﹣＜x＜2．以上结论正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①∵M＝2x2﹣3x﹣2＝0，解得：x＝2，或x＝﹣，∴的值为：﹣；故①是错误的；②当a＝﹣3时，M﹣N＝（2x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3）＝x2﹣6x﹣5＝（x﹣3）2﹣14，∴当x＝3时，M﹣N的最小值为﹣14，故②是错误的；③由题意得：MN＝（2x2﹣3x﹣2）（x2+3）＝0，解得x＝2或x＝﹣，故③是正确的；④当a＝3时，|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+2|+|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+15|＝|3x﹣6|+|3x+7|＝13，∴，解得：﹣≤x≤2，故④是错误的；故选B．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（﹣2）2+||﹣2sin30°+（﹣）﹣1＝1+．【解答】解：原式＝4+﹣2×+（﹣2）＝4+﹣1﹣2＝1+．故答案为：1+．12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之差是360°，则此多边形是6边形．【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，（b﹣2）×180°﹣360°＝360°，解得n＝6，故答案为：6．13．（4分）准备两组相同的牌，每组3张且大小一样，3张牌的牌面数字分别为1、2、3，则从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字的和大于3的概率为．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两张牌的牌面数字的和大于3的结果数为6，所以两张牌的牌面数字的和大于3的概率＝＝＝．故答案为．14．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+4的图象的顶点坐标是（1，3）．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k＝5．【解答】解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AC的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故答案为：5．16．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为5．【解答】解：解不等式组得，解得，∵有且仅有4个整数，∴0＜≤1，解得﹣3＜m≤5，∴整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，解方程，解得y＝，由y为非负整数，且y≠3，m为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，得m＝﹣1，1，5，∴符合条件的所有整数m的值之和为﹣1+1+5＝5．故答案为：5．17．（4分）如图，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，点E在BC上，且BE＝6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF＝．【解答】解：过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG＝GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝9，在Rt△ABG中，∠B＝60°，∴sinB＝sin60°＝，∴AG＝AB＝，∵cosB＝cos60°＝＝，∴BG＝AB＝，∵BE＝6，∴HE＝2GE＝2（BE﹣BG）＝2×（6﹣）＝3，在Rt△AGE中，AE＝＝＝＝3，∵S△AHE＝×HE×AG＝×AE×HM，∴×3×＝×3×HM，解得，HM＝，∵HG＝GE，AG⊥HE，∴△AHE是等腰三角形，∴AH＝AE，∠AHE＝∠HEA，在Rt△AHM中，AM＝＝＝＝，∵AB∥CD，∴∠FCN＝∠B＝60°，∴＝tan60°＝，∵折叠，∴∠AEB′＝∠HEA，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝180°﹣∠HEA﹣∠AHE＝180°﹣2∠HEA，又∠FEN＝180°﹣∠HEA﹣∠AEB′＝180°﹣2∠HEA，∴∠HAE＝∠FEN，设CN＝x，FN＝x，∵tan∠FEC＝tan∠HAM＝＝，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CN＝FN＝，∴CF＝＝＝．故答案为：．解法2：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD在以A为圆心，以AB为半径的圆内，延长B′E交⊙A于点G，连接BG，CG，B′C，过点F作FM交BC的延长线于M，如图所示：∵△AB′E是将△ABE沿AE折叠得到，∴BE＝EB′，∵∠CBG＝∠GB′C，∠BEG＝∠CEB′，∴△BEG≌△CEB′（ASA），∴BG＝B′C，∴＝，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，＝，∴＝，∴∠FB′C＝∠FCB′，∴FC＝FB′，∵∠ABC＝60°，AB∥CD，∴∠FCM＝60°，令CM＝x，则CF＝FB′＝2x，FM＝x，EF＝EB′﹣FB′＝6﹣2x，∵FM2+EM2＝EF2，∴（x）2＝（3+x）2＝（6﹣2x）2，解得：x＝，∴CF＝2x＝．故答案为：．18．（4分）若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+b+c＝d2，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为2+6+1＝32，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为2+5+1≠42，所以2514不是“和方数”，则最大的“和方数”为9614；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被33整除，则满足条件的M的最小值是1263．【解答】解：由题意可得，a＝9，∵a+b+c＝d2，∴为正整数，∴b+c的值为7或16，当b+c＝16时，b＝9，c＝7或b＝8，c＝8或b＝7，c＝9，均不符合题意，∴b+c＝7，此时b＝6，c＝1时有最大值，∴d＝＝4，∴最大的“和方数”为9614，设M＝1000a+100b+10c+d，则N＝1000b+100a+10d+c，a+b+c＝d2，∴M+N＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c＝1100（a+b）+11（c+d），＝1100（d2−c）+11（c+d），＝1100d2+11d−1089c，∵M+N能被33整除，∴＝−33c是整数，∴d或d+1是3的倍数，∵1≤d≤9，∴d＝2，3，5，6，8，9，∵M的各数位上的数字互不相等且均不为0，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，∴d＝3，∴满足条件的M的最小值是1263，故答案为：9614，1263．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．【解答】解：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2＝x2﹣2xy+xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2＝2x2﹣3xy﹣y2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷＝（﹣2a）•＝．20．（10分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝86，b＝87.5，m＝40；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数a＝86；把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，88，故中位数b＝＝87.5，m%＝1﹣10%﹣20%﹣＝40%，即m＝40．故答案为：86，87.5，40；（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）；（3）400×+500×40%＝120+200＝320（人），答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数大约是320人．21．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE，若CE＝AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点D为BC边上的中点，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（ASA），∴AC＝BE，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥BE．∴四边形ABEC是平行四边形．又∵CE＝AC，∴平行四边形ABEC是菱形．【解答】（1）解：如图，射线BF即为所求；（2）证明：∵点D为BC边上的中点，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（ASA），∴AC＝BE，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥BE．∴四边形ABEC是平行四边形．又∵CE＝AC，∴平行四边形ABEC是菱形．故答案为：△EDB，BE，BE，平行四边形，CE＝AC．22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D为BC的中点，DE∥AC交AB于点E，点F从点B出发，沿着折线B→E→D运动，到达点D时停止运动．设点F运动的路程为x，连接DF，记△BDF的面积为y1．（如图1）（1）请直接写出y1关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出y1的函数图象，并写出函数y1的一条性质；（如图2）（3）若直线y2＝kx+4与y1的函数图象只有一个交点，则k的取值范围是或．【解答】解：（1）由勾股定理得：，∴，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠C＝90°，，即，解得BE＝5，由勾股定理得：，设D到BE的距离为d，∴，即，解得，当F在BE上运动，即0＜x≤5时，；当F在DE上运动，即5＜x＜8时，；综上所述，；（2）作函数图象如图2；由图象可知，当0＜x＜5时，y1随x的增大而增大，当5＜x＜8时，y1随x的增大而减小；（3）如图3，由题意知，当直线y2＝kx+4经过点（5，6）时，5k+4＝6，解得，∴此时直线y2＝kx+4与y1的函数图象只有一个交点；当直线y2＝kx+4经过点（8，0）时，8k+4＝0，解得，由题意知，当时，直线y2＝kx+4与y1的函数图象只有一个交点，综上所述，k的取值范围是或，故答案为：或．23．（10分）临近中秋，某超市用52500元购进双黄白莲蓉和巧克力流心两种月饼共400盒，其中每盒双黄白莲蓉月饼进价为120元，售价为200元，每盒巧克力流心月饼进价为150元，售价为250元．（1）求购进双黄白莲蓉和巧克力流心各多少盒？（2）中秋节后双黄白莲蓉全部卖出，巧克力流心还有剩余，超市老板担心节后滞销，决定对剩下的月饼降价促销．经调查，中秋节前巧克力流心平均每天卖出12盒，若每降价20元，每天平均可多售3盒．该超市降价后2天将这批月饼全部售完，经计算巧克力流心月饼的总销售额是36900元，求每盒巧克力流心月饼降价多少钱？【解答】解：（1）设购进双黄白莲蓉月饼x盒，巧克力流心月饼y盒，根据题意得：，解得：．答：购进双黄白莲蓉月饼250盒，巧克力流心月饼150盒；（2）设每盒巧克力流心月饼降价m元，则平均每天可销售（12+×3）盒，根据题意得：250×[150﹣2（12+×3）]+（250﹣m）×2（12+×3）＝36900，整理得：m2+80m﹣2000＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣100（不符合题意，舍去）．答：每盒巧克力流心月饼降价20元钱．24．（10分）近日，小南和小开分别从点B、C处出发前往点A处参加校园文化节活动．已知点A位于点B北偏东60°方向，点C位于点A南偏西15°方向，同时位于点B南偏东45°方向，BC＝4000米．（1）求BA路段的长度；（结果保留根号）（2）由于当天要举行马拉松比赛，BA路段实施交通管制，小南计划从B处乘公交车沿B→D→A前往A处，点D在点B的正北方向，同时在点A的正西方向．小开计划骑自行车沿C→A前往A处，若公交车速度为500米/分，小开骑自行车速度为200米/分，小开出发15分钟后小南从点B出发，公交车到站停靠时间忽略不计，请计算小南和小开各自所需时间说明谁先到达A处？（参考数据：，，）【解答】解：（1）过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，由如图得∠BAE＝60°﹣15°＝45°，∠ABD＝60°，∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴AE＝BE，∠ABE＝45°，∴∠CBE＝30°，∵BC＝4000米，∴CE＝米，BE＝BC＝2000米，∴AB＝＝2000（米），答：BA路段的长度为2000米；（2）在Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝2000米，∠ABD＝60°，∴BD＝＝1000米，AD＝AB＝3000米，∴AD+BD＝1000+3000≈2450+4230＝6680（米），∴小南所用时间为6680÷500＝13.36（分），∵AC＝AE+CE＝2000+2000＝5464（米），∴小开所用时间为5464÷200﹣15＝12.32（分），∵12.32＜13.36，∴小开先到达A处．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线经过点A，C，点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DM∥y轴交AC于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P为y轴上一动点，连接AP、DP，当DM+MN取得最大值时，求出此时点D的坐标及|AP﹣DP|的最大值；（3）如图2，点E的坐标为（﹣3，0），连接EC，BC，将抛物线沿射线EC方向平移个单位得到新抛物线，请问新抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点C，∴b＝﹣3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，令y＝0，得﹣x﹣3＝0，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A，∴16a﹣12a﹣3＝0，解得：a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣3；（2）设D（m，m2+m﹣3），则M（m，﹣m﹣3），N（0，﹣m﹣3），∴DM+MN＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）+（0﹣m）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+2）2+3，∵﹣＜0，∴当m＝﹣2时，（DM+MN）取得最大值3，此时，点D的坐标为（﹣2，﹣），如图1，连接AD，∵|AP﹣DP|≤AD，∴当且仅当A、D、P三点共线时，|AP﹣DP|＝AD为最大值，∵A（﹣4，0），D（﹣2，﹣），∴AD＝＝，∴|AP﹣DP|的最大值为；（3）∵y＝x2+x﹣3＝（x+）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），∵E（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OE＝OC＝3，∴将抛物线沿射线EC方向平移2个单位相当于向右平移2个单位，向下平移2个单位，∴平移后的新抛物线解析式为y＝（x+﹣2）2﹣﹣2＝（x﹣）2﹣，∴新抛物线的对称轴为直线x＝，如图2，在y轴负半轴上取点F，连接BF，使∠FBO＝∠ACO，在y轴负半轴上取点G，连接EG交新抛物线的对称轴于点P，使∠CEG＝∠CBF，作点G关于直线CE的对称点H，连接EH交新抛物线的对