第3章圆的基本性质单元复习题2024-2025学年浙教版九年级数学上册

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元复习题一、单选题1．已知圆弧的度数为120°，弧长为6πcm，则圆的半径为（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm2．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（）A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE3．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（）A． B．4 C． D．4．如图，点，，都在上，连接，，，，，则的度数是（）A． B． C． D．5．如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动.当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25° B．35° C．45° D．50°6．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（）A． B． C． D．7．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（）A．π B．2π C．3π D．4π8．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为（）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）A．34 B．12 C．6+3 D．610．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4二、填空题11．如图，的弦相交于点P．若，则°．12．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A’B’C．若=40°，=110°，则∠的度数为.13．如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝．14．如图，在等边三角形ABC中，，于点D，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为．三、解答题15．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．16．如图，是的内接正三角形，半径为1，连接，．（1）求阴影部分的面积．（2）求的面积．17．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．（1）若，求的度数（2）若，，求的半径．18．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．四、综合题19．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即.下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.证明：如图2，在上截取，连接和.∵M是的中点，∴任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上一点，，与点E，则的周长是.20．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在边上时，连接，求的度数；（2）如图②，点F是上一点，当旋转角且时，请判断四边形的形状，并说明理由．21．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上，.（1）求的度数；（2）若，求的长.22．如图，在中，E是AD上一点，延长CE到点F，使得.（1）求证：；（2）请用无刻度直尺与圆规在AD上求作一点P，使.（保留作图痕迹，不写作法）23．在中，．（1）如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度；（2）如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：；（3）如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】设半径为R，由弧长公式得，故选B.【分析】根据弧长公式，建立方程即可求解.2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D【解析】【解答】解：∵点O是AB的中点，∴OA＝OB，由旋转得：OB＝OB′，∴OA＝OB′，∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°.故答案为：D.【分析】根据中点的概念可得OA＝OB，由旋转得：OB＝OB′，则OA＝OB′，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，根据外角的性质可得∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C，据此计算.6．【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得，劣弧AB的长是：．故答案为：B．

【分析】利用弧长公式求出劣弧AB的长即可。8．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠BCD=25°，∠E=39°，

∴∠ABC=∠BCD+∠E=64°，

由圆周角定理得：∠BAD=∠BCD=25°，

∴∠APC=∠BAD+∠ABC=89°，

故答案为：B．

【分析】根据三角形的外角性质求出∠ABC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠BCD=25°，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，作的外接圆连接过作轴于作轴于则四边形是矩形，是等边三角形，故答案为：A

【分析】作△ABC的外接圆圆D，连接DA，DB，DC，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，则四边形DGOH是矩形，利用点的坐标可求出AB的长，∠ADB=60°，同时可证得DA=DB，可推出△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AG，BG的长，利用勾股定理求出DG的长；从而可求出OH，DH的长，利用勾股定理求出CH的长，然后根据OC=OH+CH，可求出OC的长，即可得到点C的坐标.10．【答案】C【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，

∵AE=8，AD=12，

∴DE=4，

∵点N是AB的中点，AB=16，

∴AN=NB=8，

∴AE=AN，

又∵∠A=60°，

∴△AEN是等边三角形，

∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，

∴∠AEF=∠NEG，

由旋转的性质得EF=EG，

在△AEF与△NEG中，

∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，

∴△AEF≌△NEG（SAS），

∴∠ENG=∠A=60°，

∵∠ANE=60°，

∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，

∴点G的运动轨迹是射线NG，

在△EGN与△BGN中，

∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，

∴△EGN≌△BGN（SAS），

∴GB=GE，

∴GB+GC=GE+GC≥EC，

在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，

∴DH=DE=2，EH=，

在Rt△ECH中，，

∴GB+GC的最小值为.

故答案为：C.【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.11．【答案】3212．【答案】80°【解析】【解答】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°．

【分析】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，得出∠A′=40°，从而得出∠ACB=30°，再将将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，得出∠ACA′=50°，求解即可。13．【答案】【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠DCE=90°-45°=45°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE=DE，

∴2DE2=CD2即2DE2=（）2，

解之：CE=DE=3，

∴BE=BC+CE=2+3=5，

在Rt△BDE中，

，

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴A，B，C，D四点共圆，直径为AB，

∵，

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴，

在Rt△ABD中

.

故答案为：

【分析】过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，同时可求出∠DCE，可证得△CDE是等腰直角三角形，由此可推出CE=DE，再利用勾股定理求出DE的长，可得到BE的长；在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长；再证明A，B，C，D四点共圆，直径为AB，利用圆周角定理可求出∠ACD=∠ABD=45°，可证得△ADB是等腰直角三角形，可求出AD的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长.14．【答案】1.5【解析】【解答】解：取AC的中点K，连接DK、EK，如图，

∵为等边三角形，，，

∴

∵将线段AE绕点A顺时针旋转，得到线段AP，

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∴当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，

又∵，

∴

∴EK为的中位线，

∴

∴DP的最小值为，故答案为：.【分析】取AC的中点K，连接DK、EK，根据题意得到：然后根据旋转的性质并利用"SAS"证明则即可知当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，然后根据三角形中位线定理得到：进而即可求解.15．【答案】解：连接过圆心，C为中点，，为中点，，设半径为分米，则，，，在中，，，．拱门所在圆的半径是15分米．【解析】【分析】连接AO，利用垂径定理求出，设半径为分米，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。16．【答案】（1）（2）17．【答案】（1）解：，．；（2）解：设的半径为，则．，，．在中，，，解得．的半径是．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得再根据圆周角定理即可求解；

（2）设的半径为，则，根据垂径定理可得，然后再根据勾股定理即可求解.18．【答案】（1）；（2）或（3）点E的坐标为619．【答案】（1）证明：如图2，在上截取，连接和.∵M是的中点，∴在和中∴，∴，又∵，∴，∴；（2）【解析】【解答】解：（2）如图3，截取，连接，由题意可得：，在和中，∴，∴，∵，∴，则，∵，∴，则的周长是.故答案为：.【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA、MB、MC、MG，由中点的概念可得MA=MC，

由圆周角定理可得∠A=∠C，证明△MBA≌△MGC，得到MB=MG，结合等腰三角形的性质可得BD=GD，据此证明；

（2）截取BF=CD，连接AF、AD、CD，由题意可得AB=AC，∠ABF=∠ACD，证明△ABF≌△ACD，得到AF=AD，结合等腰三角形的性质可得FE=DE，则CD+DE=BE，易得BE的值，据此不难求出△BDC的周长.20．【答案】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，E点在上，∴，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：四边形为平行四边形．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵将绕点C顺时针旋转60°得到，∴，，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，，∴，∴，∴四边形为平行四边形．【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得，，利用三角形的内角和求出，再利用角的运算求出即可；

（2）先证明是等边三角形，可得，利用旋转的性质可得，所以，再结合，证出，即可得到四边形为平行四边形。21．【答案】（1）解：连接OB，则∠BOD=2∠BED=230°=60°，∵OD⊥AB，∴∠AOD=∠BOD=60°.（2）解：∵OD⊥AB，∠AOD=60°，∴∠OAC=30°.∴OC=OA=2=1.∴AC=.∴AB=2AC=2.【解析】【分析】（1）连接OB，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BED=60°，根据垂径定理即可求解；

（2）由三角形内角和求出∠OAC=30°，根据直角三角形的性质可得OC=OA=1，AC=，由垂径定理可得AB=2AC，继而得解.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠CED＝∠BCF.∵∠CED＋∠DCE＋∠D＝180°，∠BCF＋∠FBC＋∠F＝180°，∴∠D＝180°−∠CED−∠DCE，∠F＝180°−∠BCF−∠FBC.又∵∠DCE＝∠FBC，∴∠D＝∠F；（2）解：图中P就是所求作的点.【解析】【分析】（1）根据▱ABCD的性质定理可得AD∥BC，则由平