006第六章离散系统Z域分析

第六章离散系统的Z域分析在连续系统中为微分方程，为避免解微分方程的麻烦，用拉普拉斯变换将求解微分方程的问题将转化为求解代数方程的问题。在离散系统中我们有类似的方法。即Z变换，它也可以将求解差分方程的问题转化为求解代数方程的问题。§6.1Z变换定义及其收敛域离散信号可以由连续信号抽样得到：两边求双边拉普拉斯变换：定义序列f(k)的双边Z变换：定义序列f(k)的单边Z变换：单边Z变换后是一个关于z的幂级数F(z)是否存在，即F(z)是否等于一有限值，要看级数是否收敛§6.1Z变换定义及其收敛域序列收敛的充分必要条件为使级数收敛的Z的取值范围称为收敛域例：f(k)=akε(k)求F(z)及其收敛区。解：

说明：1、Z变换与连续系统中的拉普拉斯变换相对应，也有双边与单边之分。2、Z变换与拉普拉斯变换是有联系的，它们之间的关系由表明。3、能量有限的有限长序列，单边Z变换的收敛区为|z|>0。4、有始无终的单边序列，单边Z变换的收敛区总是在某一圆外。5、在收敛区中不应包含极点。二、常用序列的Z变换1、单位函数δ(k)2、单位阶跃序列ε(k)3、单边指数序列f(k)=vkε(k)4、单边正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)§6.1Z变换定义及其收敛域二、常用序列的Z变换1、单位函数δ(k)收敛区为整个Z平面∞≥|z|≥0。

2、单位阶跃序列ε(k)3、单边指数序列f(k)=vkε(k)4、单边正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)同理§6.1Z变换定义及其收敛域所以：§6.1Z变换定义及其收敛域3、尺度变换4、Z域的微分性（时域线性加权）5、卷积定理1、线性性质2、移序性质6、初值定理和终值定理§6.2Z变换的性质1、线性性质若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)则：a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)

a1，a2为常数。2、移序性质若：f(k)←→F(z)

则：

收敛域保持不变§6.2Z变换的性质例如：3、尺度变换证明：例如：4、Z域的微分（时域线性加权）证明：例：已知

则：这个性质也可以重复使用§6.2Z变换的性质5、卷积定理若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)则：f1(k)*f2(k)←→F1(z).F2(z)

证明：

6、初值定理和终值定理终值定理：若F(z)的所有极点位于单位圆内或在z=1处有一个一阶极点。则终值定理证明：6、初值定理和终值定理终值定理：若F(z)的所有极点位于单位圆内或在z=1处有一个一阶极点。则这是一个二阶系统的差分方程的模拟方框图可见它们没有本质的区别，只是将单位延时器D改成Z-1，相应的变量改成Z域的变量即可。也可根据H(z)来作z域框图若将写成级联和并联也可画出离散系统的级联型和并联型模拟方框图。例：离散系统的方框图如下，已知系统初值和激励为y(0)=1,y(1)=2,e(k)=ε(k)。1、求系统函数H(z)，并判别系统是否稳定。2、写出系统差分方程，并求出系统零输入的初始条件yzi(0),yzi(1)。3、分别求出系统的零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)。

系统不稳定。2、差分方程将k=-2,-1代入差分方程

§6.4离散系统的Z域分析Z变换是求解差分方程的工具一、直接求解例1：已知系统的差分方程为系统的激励和初始条件为：求全响应。

解：差分方程两边求Z变换这种方法的实质是：二、从信号分析的角度分析系统将全响应分为零输入响应和零状态响应来求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z变换的方法。注意在求零输入响应时应代入不包含激励引起部分的系统的初始条件

例2：已知系统的差分方程为

系统的初始条件和激励为：求yzi(k)和yzs(k)

。

解：1、求，令输入为0，两边Z变换2、求，令初始条件为0，两边Z变换2、基于系统函数H(z)的方法。(1)、零输入响应yzi(k)H(z)的极点就是系统的特征根，所以可由极点写出yzi(k)的一般形式，然后由系统的初始条件确定系数(2)、零状态响应yzs(k)①、e(k)←→E(z)

②、定义离散系统的系统函数③、Yzs(z)=E(z)•H(z)④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)]例2：已知系统的差分方程为系统的初值和激励为：

求零输入响应和零状态响应。

注意：这里的初始条件是包含了激励引起的初始条件例2：已知系统的差分方程为系统的初值和激励为：

求零输入响应和零状态响应。

解：确定c1,c2时必须用零输入的初始条件(3)、H(z)与离散时间系统的稳定性

可以证明离散系统稳定的充分必要条件是单位函数响应h(k)绝对可和：

在实际中通常根据H(z)的极点在Z平面中的位置来判别比较方便。☆如果H(z)的所有极点位于Z平面的单位圆内则系统稳定；☆如在单位圆上仅有一阶极点则系统临界稳定；☆如有极点位于Z平面的单位圆外则系统不稳定。

例3：已知系统的差分方程为（1）求系统的单位函数响应；（2）判断系统是否稳定；解(1):z变换，令初始条件为零后向差分方程极点2在单位圆外系统不稳定！§6.4离散系统的Z域分析离散时间系统连续时间系统1、分析工具Z变换f(k)↔F(z)将差分方程→代数方程L变换f(t)↔F(s)将微分方程→代数方程3、复平面中的极点Z平面中的极点：v→

AvkS平面中的极点：λ→

Aeλt