湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

湖南省高二年级期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的焦距为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，得出，计算出，即可求出焦距.【详解】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，再由交集运算得解.【详解】求解，得或即或所以集合或，则.故选：B3.虚数z满足，则z的虚部为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。【详解】解法一：设复数,则，化简得，故，即①，②此时，对于选项中的值，代入：若，则，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，综上可得故选：A解法二：由可得，故，故或，由于为虚数，故，故虚部为1，故选：A4.已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可.【详解】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面，若，且，但如果直线与不相交，则不能得到，从而不能推出；如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，若，由于，，，则，又，所以.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（）A. B. C.或 D.或1【答案】C【解析】【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可求出圆的半径．【详解】由，得，故切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为.又因为与圆相切，所以的半径，解得或，所以圆的半径为或.故选：C6.要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（）A.7种 B.8种 C.12种 D.14种【答案】A【解析】【分析】先将名学生分为组，第一种情况组人数分别为、，第二种情况组人数分别为、，采用特殊元素分析法求解.详解】先把名学生分成组，第一种情况组人数分别为、，由于甲不去A乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，第二种情况组人数分别为、，则可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种，故共有种.故选：A.7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可；【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，设该数列为，公差为，则．由题意得即解得故选：B.8.已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（）A.45 B. C.90 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得函数与图象的交点关于直线对称，由中点公式可解.【详解】因为为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，又函数的图象关于直线对称，所以函数与图象的交点关于直线对称，由交点有9个，故两函数必都过点，即.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布曲线对称性即可求解.【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，根据对称性可知：，得，A正确，B错误；则，C错误，D正确.故选：AD10.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则a的值可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据图象平移得，即可根据求解，取值即可求解.【详解】由题意可得，由于的图象关于点对称，所以,故，解得，取，，取，故选：AC11.已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（）A. B.，，成等差数列C.，，成等比数列 D.【答案】ACD【解析】【分析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，利用导数研究两个函数的单调性和最值，从而逐项判断.【详解】根据题意，，即或，所以或，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，对于，得，当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，当时，函数取得最大值，对于，得，当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，当时，函数取得最大值，如图，作出函数与的图象，由，可得，由，可得，又，且在上单调递增，又，所以，即，A正确；，且在上单调递减，又，所以，即，故，则C正确，B错误；因为，所以，则，则D正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】首先根据正四棱柱的边长和高求外接球的半径，再代入球的表面积公式，即可求解.【详解】设外接球的半径为，则,所以正四棱柱外接球的表面积.故答案为：13.已知数列的前n项和满足，则______.【答案】【解析】【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解.【详解】令，得，得，，当时，，两式相减得，，即，即，所以数列是以首项，公比为2的等比数列，所以.故答案为：14.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则______.【答案】##0.5【解析】【分析】设，由和，得，，再由且椭圆C的离心率为，解出，可计算.【详解】如图，记，，因为，则，，由椭圆的定义可得，所以，则，又且，有或，解得或，又点在第一象限，所以，得，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求A；（2）若，的面积为，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，再由正弦定理边化角，化简即可解；（2）由三角形面积公式结合已知可得，再利用余弦定理求解.【小问1详解】由，则得，由正弦定理得，又，则，所以，即，因为，所以；【小问2详解】由得结合，得，由余弦定理得，所以.16.已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.（1）求C的方程；（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解，（2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解.【小问1详解】C上一点到点F的距离为4,由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．【小问2详解】设直线，，设,,,，将方程代入方程整理得，需满足，，故，解得，当时，满足，故符合题意，故直线方程为17.如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，.（1）证明：（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）的中点，的中点，证明四边形为平行四边形，由已知的面面垂直，证得，由，，勾股定理可得.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】证明：因为四边形为等腰梯形，，所以，取的中点，的中点，连接，则，，所以，，从而四边形为平行四边形，则，，在中，，且为的中点，所以，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又，所以平面.又平面，所以，，，由，，得.【小问2详解】由平面，，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，不妨设，则，，，由图可知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，由，令，则，，则，所以二面角的正弦值为.18.某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？【答案】（1）（2）选【解析】【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果；（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小.【小问1详解】设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，则，所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；【小问2详解】当时，X为甲答对题目的数量，则，故当时，甲获奖励的概率，当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：①前10题答对题目的数量大于等于6，②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，故当时，甲获奖励的概率，，即，所以甲应选.19.若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，.（1）当时，证明：为“反转函数”.（2）已知有三个零点，，，且.①求a的取值范围；②证明：.【答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求的单调性，分和两种情况讨论的符号，证明恒成立即可；（2）①利用的单调区间和极值，结合零点存在定理求a的取值范围；②由且，利用零点可得，要证，即证，即证6×1x3x3+1x【小问1详解】当时，得，gx得g′则在上单调递减.当时，，当时，所以对于任意的，，即x−1f故为“反转函数”.【小问2详解】①：由题意得gx=2aln令tx=x二次函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，当时，，恒成立，有，则在上单调递减，不符合题意，当时，在上单调递增，tx>t0=1，有，则在上单调递减，不符合题意，当时，x∈0,a−a2−1∪a+x∈a−a2−1,a+则在0,a−a2−1,a+由，有，则，即a−12<a2−1，得因为，，所以ga−a2设函数Fx=ex−x得F2a=e由，得，所以，设函数Gx=e令Hx=G′x=2e因为G′x>则Ga=综上，时，，，g1得ge由零点存在定理可知，当时，有3个零点.所以a的取值范围为.②证明：由①可知由题意得g1x=−2alnx+x−且，gx1=g1有2aln则2aln得alnx3要证，即证，即x3+得lnx3即证6×1设函