湖南省雅礼教育集团（七校）2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

【新结构】20232024学年度湖南省雅礼教育集团2024年高一下学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(

)A. B. C. D.2.设i为虚数单位，复数z满足，则为A. B.5 C.2 D.3.设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是(

)A.内有无数条直线与平行 B.，垂直于同一个平面

C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一条直线4.定义在R上的函数满足，且，则(

)A. B.0 C.1 D.35.已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为(

)A.2 B. C. D.6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)A. B. C. D.7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为米．

A. B. C. D.8.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为乙班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为，你认为下列说法中正确的是(

)A.平均来说乙班比甲班防守技术好

B.乙班比甲班防守技术更稳定

C.乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差

D.甲班很少不失球10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(

)A.若，则M与N不互斥 B.若，则M与N相互独立

C.若，则M与N互斥 D.若，则M与N相互独立11.如图，在四边形ABCD中，和是全等三角形，，，，下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥.折法①将沿着AC折起，得到三棱锥，如图折法②将沿着BD折起，得到三棱锥，如图下列说法正确的是

A.按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为

B.按照折法①，存在满足

C.按照折法②，三棱锥体积的最大值为

D.按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.当且时，函数的图象一定经过定点__________.13.如图所示，已知平面ABC，，，则__________.

14.已知向量，满足，，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题12分已知函数求的最小正周期求的最小值以及取得最小值时x的集合.16.本小题12分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足求角若，，AD是中线，求AD的长.17.本小题12分我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数;如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?18.本小题12分如图，在长方体中，，，点M和点N在棱上，且求证：平面求证：19.本小题12分

已知平面四边形ABCD，，，，现将沿BD边折起，使得平面平面BCD，此时，点P为线段AD的中点.

求证：平面若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值;在的条件下，求二面角的平面角的余弦值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了集合的表示方法以及集合的基本运算，属于基础题．

先求出集合M，再根据交集运算即可求得结论．

【解答】

解：集合，

，

故选：2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数，属于基础题.

利用复数的除法法则求出复数z，再求出，利用复数的乘法运算，即可求出结果.

【解答】

解：因为，

所以，

所以，

所以

故选3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．

由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．【解答】

解：内有无数条直线与平行不能得出，内的所有直线与平行才能得出：

，垂直于同一平面或，平行于同一条直线，不能确定，的位置关系：

，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂于某条直线，则也垂于该条直线.

故选4.【答案】D

【解析】【分析】本题重点考查利用函数的周期性求函数值，属于基础题.

求出周期，利用周期性即可求解.【解答】

解：因为，

则，

从而，即以4为周期，

故5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了投影向量，属于基础题.【解答】

解：根据定义可知：在方向上的投影向量为，答案选C。6.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了三棱柱的结构特征，以及外接球表面积的求解，属于基础题

由题意作出图形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，连线的中点处，利用几何关系即可求出答案．

【解答】

解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为

设O，分别为下、上底面的中心，且球心为的中点，

又，，，设球的半径为R，

则，

所以

故选7.【答案】B

【解析】【分析】本题主要正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

设该球体建筑物的高度为x，球心为O，用x表示出OB的长度，再在中，结合正弦定理进行计算即可.【解答】

解：设该球体建筑物的高度为x，球心为O，连接OA，OB，OC，如图，

在中，，，

则，

在中，，，，，

由正弦定理可得，

则

故选8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查空间几何体的截面问题截面形状、面积，利用余弦定理解三角形，属于中档题.

根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.

【解答】

解：在正四棱锥

中，连接

AC

，则

，

是正三角形，由

SC

的中点为E，得

，而

，则

，在

中，

，

，令平面

与直线

SB

交于

F

，连

，则

，

，即点

F

在棱

SB

上，同理平面

与棱

SD

相交，令交点为

G

，连

，于是四边形

AFEG

为平面

截正四棱锥

所得的截面，由对称性知

≌

，在

中，

，而

，在

中，

，由余弦定理得

，在

中，

，

，所以所得截面面积

.故选：A9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查平均数、标准差，属于基础题.【解答】

解：A从平均数角度考虑是对的;

B从标准差角度考虑是错的;

C从标准差角度考虑是对的;

D从平均数和标准差角度考虑是对的.10.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查互斥事件与对立事件的相关知识，属于中档题.

若，写出对应的样本空间即可判断A和B；若，写出对应的样本空间，即可判断C和【解答】

解：若，样本空间为正,正正,反反,正反,反，正,反反,正，正,正正,反反,正，正,反反,正，则M与N不互斥，，

于是，所以M与N不相互独立，则A正确、B错误；

若，样本空间为正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正反,反,反，正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正，正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正，正,正,反正,反,正反,正,正，则M与N不互斥，，于是，所以M与N相互独立，则C错误，D正确.

故选：11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查了棱锥的结构特征，球的表面积，棱锥体积，线面角的求解，属于中档题.

由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断A；由棱锥棱锥结构特征判断B；由棱锥体积判断C；由线面角的定义求出大小判断【解答】解：由题意知，，

取AC的中点O，由于和是直角三角形且全等，

故，

故在折法①的折叠过程中，三棱锥的外接球的球心为O，半径为1，

故该球的表面积恒为，故A选项正确；

按照折法①，在折起过程中，点在平面ABC内的投影在线段BD上不包括端点，

而线段不包括端点不存在使得，故不存在满足，故B选项错误；

按照折法②，取BD的中点H，，

当平面平面BCD时，三棱锥体积取得最大值，

此时体积，故C选项正确;

当时，，，

故此时，，

又因为，平面，

故平面，

故为BC与平面所成线面角，

则，故D选项正确.

故选

12.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．利用指数函数的性质即可求解．【解答】解：当且时，令得，，此时，函数的图象一定经过定点故答案为：13.【答案】12

【解析】【分析】本题考查向量的模的求法，考查数形结合的思想，属于基础题.

由题意，可得，计算，从而得出结果.【解答】解：已知平面，

AB，BC在平面ABC内，所以，

三角形ABC中，，

则，，

故答案为：14.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量模的坐标表示、向量数量积与向量的垂直关系。

根据题意可得，即可建立平面直角坐标系，设，，由得，则，结合三角函数设，利用三角函数的性质即可求得最值.【解答】解：取平行四边形OACB，连接OC

设，则，因为向量，满足，所以，即，设，，如图以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则所以，则，故，所以因为，又，可设即，所以，其中，所以，所以故的最大值为，即的最大值为故选：15.【答案】解：由得，

所以；

由知，此时，即，

故x的集合为

【解析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的周期公式即可求得答案；

根据正弦函数的性质即可求得答案．

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】解：因为，由正弦定理可知：，，，又A为三角形内角，所以由，得，又，在中由余弦定理得：，所以

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，向量数量积，属于中档题.17.【答案】解：第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，

第四组的频率为，第五组的频率为，所以中位数在第三组，不妨设为x，则，解得，平均数为；根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为，则这5人中选2人的基本事件有：共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是

【解析】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，简单的古典概型计算，是中档题.

计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x，进而根据求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.由分层抽样得良好”的学生有2人，“优秀”的学生有3人，进而根据古典概型求解即可.18.【答案】解：在长方体中，，

点M和点N在棱上，且，

连接AC、BD，设，连接ON，则O为AC的中点，

又N为CM的中点，所以，

又平面BDN，平面BDN，

所以平面

在长方体中，，

则ABCD为正方形，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

，，平面，

所以平面，

平面，所以，

又，，，，

所以，所以∽，

所以，

又，

所以，

所以，

又，BD，平面BDN，

所以平面BDN，

又平面BDN，所以

【解析】本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定和线面垂直的性质，是中档题.

连接AC、BD，设，连接ON，易得，由线面平行的判定即可得证；

先证明平面BDN，由线面垂直的性质即可得证.19.【答案】证明：，，

为等边三角形，

为AD中点，，

取BD中点E，连接AE，则，

平面平面BCD，平面平面，平面ABD，

平面BCD，又平面BCD，

又，，AD、平面ABD，

平面

平面ABD，

又，CD、平面ACD，

平面解：过点M作，垂足为如图所示由知，平面因为平面ACD，所以

又，平面BPC，所以平面BPC，所以为MP与平面BPC所成角.由知，平面平面ABD，所以在中，，

，因为M为CD的中点，所以在中，，在中，，在中，，所以所以MP与平面BPC所成角的正弦值为取ED的中点为O，连接PO，因为P为线段AD的中点，所以，由知，平面BCD，所以平面

又平面BCD，所以